Sprawdzić czy podane podzbiory tworzą podprzestrzeń odpowiedniej przestrzeni liniowej. Wyznaczyć bazy i określić wymiar tych przestrzeni.
a) \(\displaystyle{ ((x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):x_{1}+x_{2}-x_{3}=0)}\)
b) \(\displaystyle{ ((x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):x_{1}-2x_{3}=0 2x_{2}+x_{4}=0)}\)
c) \(\displaystyle{ (X M_{2}(R):X=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\a+b&0\end{array}\right])}\)
bazy i przestrzen
-
MgielkaCuba
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 18 paź 2007, o 21:35
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 22 razy
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
bazy i przestrzen
a.) Najpierw wykażemy, że podany zbiór (oznaczmy go przez U) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \Re^{4}}\).
Weźmy dwa wektory \(\displaystyle{ u=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}}\), \(\displaystyle{ u=(x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})^{T}}\). Mamy zależności \(\displaystyle{ x_{3}=x_{1}+x_{2},x_{7}=x_{5}+x_{6}}\).
Zachodzi \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}+(x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})^{T}=(x_{1}+x_{5},x_{2}+x_{6},x_{3}+x_{7},x_{4}+x_{8})^{T}}\).
Na mocy wcześniejszych zależności stwierdzamy, że \(\displaystyle{ (x_{1}+x_{5})+(x_{2}+x_{6})=(x_{3}+x_{7})}\), czyli otrzymany wektor należy do U. To oznacza że U jest domknięta ze względu na dodawanie.
Teraz weźmy wektor \(\displaystyle{ u=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}}\), po przemnożeniu go przez skalar k otrzymujemy wektor \(\displaystyle{ ku=(kx_{1},kx_{2},kx_{3},kx_{4})^{T}}\). Otrzymany wektor również należy do podprzestrzeni, gdyż \(\displaystyle{ x_{3}=x_{1}+x_{2} kx_{3}=kx_{1}+kx_{2}}\). Przestrzeń U jest domknięta ze względu na mnożenie, czyli jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \Re^{4}}\).
Łatwo znaleźć bazę tej podprzestrzeni: tworzą ją np wektory \(\displaystyle{ (1,0,1,0)^{T},(0,1,1,0)^{T},(0,0,0,1)^{T}}\), gdyż \(\displaystyle{ a(1,0,1,0)^{T}+b(0,1,1,0)^{T}+c(0,0,0,1)^{T}=(a,b,a+b,c)^{T}}\). Z jednej strony widać, że w ten sposób można przedstawić dowolny wektor U, z drugiej strony łatwo zauważyć, że te wektory są liniowo niezależne. Oczywiście ta przestrzeń jest trójwymiarowa.
[ Dodano: 22 Kwietnia 2008, 19:53 ]
Podobnie robisz b, to pewnie bedzie jakaś płaszczyzna w \(\displaystyle{ R^{4}}\), więc wymiar przestrzeni obstawiam na 2.
Weźmy dwa wektory \(\displaystyle{ u=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}}\), \(\displaystyle{ u=(x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})^{T}}\). Mamy zależności \(\displaystyle{ x_{3}=x_{1}+x_{2},x_{7}=x_{5}+x_{6}}\).
Zachodzi \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}+(x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})^{T}=(x_{1}+x_{5},x_{2}+x_{6},x_{3}+x_{7},x_{4}+x_{8})^{T}}\).
Na mocy wcześniejszych zależności stwierdzamy, że \(\displaystyle{ (x_{1}+x_{5})+(x_{2}+x_{6})=(x_{3}+x_{7})}\), czyli otrzymany wektor należy do U. To oznacza że U jest domknięta ze względu na dodawanie.
Teraz weźmy wektor \(\displaystyle{ u=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}}\), po przemnożeniu go przez skalar k otrzymujemy wektor \(\displaystyle{ ku=(kx_{1},kx_{2},kx_{3},kx_{4})^{T}}\). Otrzymany wektor również należy do podprzestrzeni, gdyż \(\displaystyle{ x_{3}=x_{1}+x_{2} kx_{3}=kx_{1}+kx_{2}}\). Przestrzeń U jest domknięta ze względu na mnożenie, czyli jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \Re^{4}}\).
Łatwo znaleźć bazę tej podprzestrzeni: tworzą ją np wektory \(\displaystyle{ (1,0,1,0)^{T},(0,1,1,0)^{T},(0,0,0,1)^{T}}\), gdyż \(\displaystyle{ a(1,0,1,0)^{T}+b(0,1,1,0)^{T}+c(0,0,0,1)^{T}=(a,b,a+b,c)^{T}}\). Z jednej strony widać, że w ten sposób można przedstawić dowolny wektor U, z drugiej strony łatwo zauważyć, że te wektory są liniowo niezależne. Oczywiście ta przestrzeń jest trójwymiarowa.
[ Dodano: 22 Kwietnia 2008, 19:53 ]
Podobnie robisz b, to pewnie bedzie jakaś płaszczyzna w \(\displaystyle{ R^{4}}\), więc wymiar przestrzeni obstawiam na 2.