2 Zadania

[Szakal_1920]

1.Liczbę 12 przedstaw jako różnicę dwóch liczb tak aby suma ich kwadratów była najmniejsza.
2.W trójkącie suma długości podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę jest równa 12cm. Przy jakiej długości podstawy pole tego trójkąta ma największą wartość.

Proszę o rozwiązanie powyższych zadań z dokładnym opisem poszczególnych działań.

[alchemik]

Zad.1.
Mamy dwie liczby x i y, wiemy że y-x=12, czyli y=12+x.
Widzimy teraz że musimy znaleźć najmniejszą wartość:
\(\displaystyle{ x^2+(12+x)^2}\)
Możemy policzyć pochodna i porównać ją do zera, albo widzimy że to wyrażenie jest funkcją kwadratową i patrzymy wierzchołek jakie ma współrzędne, mam nadzieję, że wszystko jasne.

Zadanie drugie robisz na podobnej zasadzie.

[Szakal_1920]

alchemik jeśli można to proszę też o drugie. To sprawia mi największy problem.

[alchemik]

a+h=12 ==>h=12-a

Pole trójkąta zatem wynosi:
\(\displaystyle{ P=\frac{ah}{2} => P=\frac{a(12-a)}{2}}\)

Widzisz że w zależności od a zmienia się pole, dlatego zapisz funkcję Pola w zależności od a
\(\displaystyle{ P(a)=\frac{a(12-a)}{2}}\)

Szukasz największego pola, czyli takiego a dla którego ta funkcja przyjmuje największą wartość. I tutaj znowu możesz policzyć pochodną funkcji i przyrównać do zera:

\(\displaystyle{ P'(x)=0 \\ \frac{12-2a}{2}=0 \\ a=6}\)

Albo możesz zauważyć że ta funkcja jest kwadratowa z ramionami skierowanymi w dół. Największą wartość będzie przyjmowała w wierzchołku, czyli w -6/-1=6, W zasadzie współrzędne wierzchołka biorą się z pochodnych, jednakże który sposób wybierzesz już zależy jak dobrze obcujesz z matma.

Odp. Gdy pole podstawy wynosi 6 to trójkąt ma największe pole.

[Szakal_1920]

alchemik, wierzchołki paraboli obliczone przeze mnie odbigają od poprawnej odpowiedzi.mógłbyś dokładniej przedstawić pierwsze zadanie?

[alchemik]

Szakal a ty nie mógłbyś przedstawić swojego rozwiązania, a ja wtedy powiem gdzie może być błąd?
Napisz mi jakie zmienne i w jaki sposób zastosowałeś, i będziemy szukac prawidłowego rozwiązania.

[Szakal_1920]

to moje rachunki: x ^2 +(12+x) ^2 =x ^2 +144+24x+x^2 =2x ^2 +24x+144

p= frac{-24}{4} =-6
q= frac{-576}{8} =-72

delta=-576

[alchemik]

Zobacz otrzymujemy wykres funkcji kwadratowej z ramionami skierowanymi w górę. Czyli funkcja ma w jakimś punkcie minimalną wartość, ta minimalna wartość jest w wierzchołku, ramiona skierowane są w górę, dlatego też trzeba obliczyć współrzędna x-ową wierzchołka, którą obliczyłeś, z tego wynika że dla -6 funkcja przyjmuje najmniejszą wartość, czyli dla x=-6