Równanie płaszczyzny

[Wildthinks]

Witam!
Czy znalazłby się ktoś mający troszkę więcej rozeznania w tych tematach niż ja?
Z góry piekne dzięki.

Znależć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty:

\(\displaystyle{ P=(2,1,2)\\Q=(0,-1,3)\\S=(-1,2,4)}\)

[Crizz]

Przyjmijmy, że płaszczyzna szukana ma równanie Ax+By+Cx+D=0.
Wobec tego, że przechodzi przez P,Q,S, to mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2A+B+2C+D=0 \\ -B+3C+D=0 \\ -A+2B+4C+D=0 \end{cases}}\)
Oczywiście taki układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, znajdźmy jedno konkretne, spróbujmy na przykład przyjąć, że A=1, wtedy mamy układ trzech równańz trzema niewiadomymi. Pokombinuj trochę, przy A=1 powinno wyjść \(\displaystyle{ B=- \frac{1}{5}, C= \frac{8}{5},D=-5}\).

[JankoS]

Oczywiście taki układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, znajdźmy jedno konkretne, spróbujmy na przykład przyjąć, że A=1, wtedy mamy układ trzech równańz trzema niewiadomymi. Pokombinuj trochę, przy A=1 powinno wyjść \(\displaystyle{ B=- \frac{1}{5}, C= \frac{8}{5},D=-5}\).

Jeżeli układ ma nieskończenie wiele rozwiązan, to znalezienie właściwej płaszczyzny tą metodą jest trudniejsze niż trafienie szóstki w totku, bo w tym ostatnim przypadku jest skończona liczba możliwości.
Brakuje jednego równania, np. że wektor [A, B, C] jest prostopadły do wektorów \(\displaystyle{ \vec{PQ} \ i \ QS}\) płaszczyzny.
Można też zastosować metodę "wyznacznikową".

[Crizz]

Tak, tylko zauważ, że jeśli szukamy równania płaszczyzny, to z reguły ilość rozwiązań będzie nieskończona, a przyjmując, że A=1, przyjmujemy w zasadzie, że w ogóle przy x będzie stał niezerowy wspołczynnik, który albo tam jest, albo go nie ma. Ciężko to porównać do szóstki w totka.

[JankoS]

Ciężko to porównać do szóstki w totka

Przy A może stać dowolna liczba rzeczywista, jest ich chyba więcej niż 46 milionów.

Przyjmijmy, że płaszczyzna szukana ma równanie Ax+By+Cx+D=0.
Wobec tego, że przechodzi przez P,Q,S, to mamy układ równań:
Oczywiście taki układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, znajdźmy jedno konkretne, spróbujmy na przykład przyjąć, że A=1, wtedy mamy układ trzech równańz trzema niewiadomymi. Pokombinuj trochę, przy A=1 powinno wyjść .

Wyznaczamy A, B i C za pomocą D. Postawiamy te wartości do Ax+By+Cz+D=0. Dzielimy stronami przez D i mamy równanie płasczyzny.

[Crizz]

Chyba mnie nie zrozumiałeś.

Przy A albo stoi 0 i nic więcej nie może, albo przy A może stać dowolna liczba rzeczywista, wtedy możemy zapisać tak równanie płaszczyzny (dzieląc stronami przez A), że przy x będzie stała liczba 1. Dlatego przyjęcie, że A=1 (albo, że A jest równe dowolnej innej liczbie rzeczywistej, jaką sobie wymyślisz), jest jak najbardziej właściwe, gdyby okazało się, że wtedy układ jest sprzeczny, to automatycznie oznacza to, że A=0.

[JankoS]

Chyba mnie nie zrozumiałeś.

Ma Kolega rację teraz pojąłem. Dziękuję za cierpliwość..