Witam mam problem nie potrafię obliczyć wyznacznika tej macierzy metodą Laplace'a.
Korzystając analogicznie z rozwiązania na wikipedi.
Proszę o pomoc.
Z góry dziękuję. Jeśli nie sprawi to kłopotu proszę o rozpisanie rozwiązania i wytłumaczenia każdego kroku.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}7&3&0&0\\0&8&0&1\\2&0&0&0\\-1&0&1&0\end{array}\right]}\)
Wyznacznik macierzy metodą Laplace
-
natkoza
- Użytkownik
- Posty: 2278
- Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 602 razy
Wyznacznik macierzy metodą Laplace
\(\displaystyle{ det\left|\begin{array}{cccc}7&3&0&0\\0&8&0&1\\2&0&0&0\\-1&0&1&0\end{array}\right|=}\)
zatem wykonajmy rozwinięcie względem trzeciego wiersza(bo jest najwięcej zer).
\(\displaystyle{ =2\cdot (-1)^{1+3}\cdot det \left|\begin{array}{ccc}3&0&0\\8&0&1\\0&1&0\end{array}\right|=2\cdot det \left|\begin{array}{ccc}3&0&0\\8&0&1\\0&1&0\end{array}\right|=}\)
i teraz wystarczy policzyć wyznacznik macierzy 3x3 albo metodą Sarrusa, albo ponownie z Laplace'a (ja zastosuje rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza)
\(\displaystyle{ det \left|\begin{array}{ccc}3&0&0\\8&0&1\\0&1&0\end{array}\right|=
3\cdot det \left|\begin{array}{ccc}0&1\\1&0\end{array}\right|=3\cdot (-1)=-3}\)
czyli ostatecznie \(\displaystyle{ det\left|\begin{array}{cccc}7&3&0&0\\0&8&0&1\\2&0&0&0\\-1&0&1&0\end{array}\right|=2\cdot 3\cdot (-1)=-6}\)
zatem wykonajmy rozwinięcie względem trzeciego wiersza(bo jest najwięcej zer).
\(\displaystyle{ =2\cdot (-1)^{1+3}\cdot det \left|\begin{array}{ccc}3&0&0\\8&0&1\\0&1&0\end{array}\right|=2\cdot det \left|\begin{array}{ccc}3&0&0\\8&0&1\\0&1&0\end{array}\right|=}\)
i teraz wystarczy policzyć wyznacznik macierzy 3x3 albo metodą Sarrusa, albo ponownie z Laplace'a (ja zastosuje rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza)
\(\displaystyle{ det \left|\begin{array}{ccc}3&0&0\\8&0&1\\0&1&0\end{array}\right|=
3\cdot det \left|\begin{array}{ccc}0&1\\1&0\end{array}\right|=3\cdot (-1)=-3}\)
czyli ostatecznie \(\displaystyle{ det\left|\begin{array}{cccc}7&3&0&0\\0&8&0&1\\2&0&0&0\\-1&0&1&0\end{array}\right|=2\cdot 3\cdot (-1)=-6}\)
-
rapid997
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 8 lut 2008, o 01:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: katowice
- Podziękował: 10 razy
Wyznacznik macierzy metodą Laplace
A można wykonać rozwinięcie względem 3 kolumny ?? bo również mamy tam 3 zera !
Jeśli tak to prosił bym o rozwiązanie względem 3 kolumny.
Jeszcze jedno pytanko dlaczego w wszystkich przykładach mnożymy (-1) ??
Zawsze mnożymy (-1) ?
Jeśli tak to prosił bym o rozwiązanie względem 3 kolumny.
Jeszcze jedno pytanko dlaczego w wszystkich przykładach mnożymy (-1) ??
Zawsze mnożymy (-1) ?
-
natkoza
- Użytkownik
- Posty: 2278
- Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 602 razy
Wyznacznik macierzy metodą Laplace
jasne, ze można 
rozwiazanie niczym się nie różni, a nie napisałeś, ze względem konkrettnego wiersza/kolumny 
\(\displaystyle{ det\left|\begin{array}{cccc}7&3&0&0\\0&8&0&1\\2&0&0&0\\-1&0&1&0\end{array}\right|=1\cdot (-1)^{3+4}\cdot det\left|\begin{array}{cccc}7&3&0\\0&8&1\\2&0&0\end{array}\right|=-1\cdot 2\cdot \left|\begin{array}{cccc}3&0\\8&1\end{array}\right|=-2\cdot (3-0)=-2\cdot 3=-6}\)
a mnożymy przez (-1) do konkretnej potęgi ponieważ tak jest we wzorze (definicji) rozwinięcia Laplace'a
rozwiazanie niczym się nie różni, a nie napisałeś, ze względem konkrettnego wiersza/kolumny \(\displaystyle{ det\left|\begin{array}{cccc}7&3&0&0\\0&8&0&1\\2&0&0&0\\-1&0&1&0\end{array}\right|=1\cdot (-1)^{3+4}\cdot det\left|\begin{array}{cccc}7&3&0\\0&8&1\\2&0&0\end{array}\right|=-1\cdot 2\cdot \left|\begin{array}{cccc}3&0\\8&1\end{array}\right|=-2\cdot (3-0)=-2\cdot 3=-6}\)
a mnożymy przez (-1) do konkretnej potęgi ponieważ tak jest we wzorze (definicji) rozwinięcia Laplace'a