Liniowa niezależnośc wektorów

smesna · Post autor: **smesna** » 6 kwie 2008, o 23:50

Witajcie nie wiem jak zrobić takie oto zadanie:

zbadaj liniową niezależność wektorów :

(1,2), (3,4),(1,4) w \(\displaystyle{ R ^{2}}\)

Bardzo proszę o pomoc i z góry dziekuję ty co mi pomogą.

natkoza · Post autor: **natkoza** » 7 kwie 2008, o 11:37

wrzuć w macierz i policz rząd tej macierzy
ale już n pierwszy rzut oka widac, ze w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) tylko dwa wektory mogą yć liiowo niezalezne, więc trzeci jest kombinacją liniową dwóch pozostałych

smesna · Post autor: **smesna** » 7 kwie 2008, o 18:55

Dalej nie wiem ale dziekuję za pomoc

Matematyka to czarna magia

czyli co rząd tej macierzy będzie 2?
nie wiem czy dobrze toliczę ....

natkoza · Post autor: **natkoza** » 7 kwie 2008, o 19:34

tak.... rząd tej macierzy jest równy 2, czyli dwa spośród tych trzech wektorów sa liniowo niezależne, bo np. \(\displaystyle{ (1,4)=4\cdot (1,2)-(3,4)}\)

smesna · Post autor: **smesna** » 7 kwie 2008, o 19:51

A ten drugi przykład niezależności jaki on jest?

natkoza · Post autor: **natkoza** » 7 kwie 2008, o 21:03

przyznam, ze nie bardzo rozumiem twoje pytanie
wśród podanych przez ciebie wektorów \(\displaystyle{ (1,2), (3,4)}\) są liniowo niezależne, natomiast \(\displaystyle{ (1,4)}\) jest liniowo zależny od pozostałych dwóch.

smesna · Post autor: **smesna** » 7 kwie 2008, o 22:17

wśród podanych przez ciebie wektorów są liniowo niezależne, natomiast jest liniowo zależny od pozostałych dwóch.

ponieważ....

dwa spośród tych trzech wektorów sa liniowo niezależne, bo (1,4)=4 * (1,2)- (3-4)

i to jest całe zadanie?

A ja się nad tym głowiłam i prawie mózg mi się przylepił do ściany...DZIĘKUJĘ

Elurin · Post autor: **Elurin** » 9 kwie 2008, o 22:11

Witam serdecznie:)
Ja mam bardzo podobne zadanie:

Zbadaj liniową niezależność wektora:

(1,-1,0,8), (2,3,4,5), (0,0,0,1) w R4

Czyli zeby sprawdzic te niezaleznosc pierwsze trzeba zrobic z tego macierz.
Zrobilem w ten sposob:
1 -1 0 8
2 3 4 5
0 0 0 1

Zeby obliczyc rzad trzeba obliczyc wyznacznik, ale on wychodzi mi 0, wiec co teraz?

natkoza · Post autor: **natkoza** » 9 kwie 2008, o 22:21

wyznacznika nie możesz policzyć, bo nie jest to macierz kwadratowa!
więc poprostu robisz operwcje elementarne aby otrzymać jedynki na skosie a zera w pozostałych miejscach (postać całkowici zredukowana macierzy)

Elurin · Post autor: **Elurin** » 9 kwie 2008, o 22:34

Czyli cos w stylu:
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 5

Tak?

No i co pozniej?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 10 kwie 2008, o 01:10

Elurin pisze:No i co pozniej?

Odpowiedź. Rząd macierzy = 3.

natkoza · Post autor: **natkoza** » 10 kwie 2008, o 07:46

a co za tym idzie wszystkie podane przez ciebie wektory są liniowo niezależne

doshka · Post autor: **doshka** » 10 kwie 2008, o 23:09

mam podobne zadanie. w jaki sposób zostala utworzona zredukowana macierz w tym przykladzie. jakie działania?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 11 kwie 2008, o 00:12

doshka pisze:mam podobne zadanie. w jaki sposób zostala utworzona zredukowana macierz w tym przykladzie. jakie działania?

Macierzy nie trzeba redukować jak u Koleżanki natkoza, wystarczy ją sprowadzić do postaci schodkowej metodą eliminacji Gaussa. Rząd macierzy jest równy liczbie niezerowych wierszy.
Jeżeli rząd ten jest mniejszy od liczby wektorów, to są one liniowo zależne.