podprzestrzen liniowa

[Menomen]

mam podobny problem:
Czy podzbiór \(\displaystyle{ \mathfrak{V}}\)jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{3}}\)
\(\displaystyle{ \mathfrak{V}=\{(x,y,z):x-3y+z=1\}}\)

i dlaczego, szczerze powiem że to dla mnie czarna magia :/ a musze jak najszybciej to skapowac,

[edit] Prosze nie podpinac sie pod cudze posty. Kuch2r

[kuch2r]

W czym masz dokladnie problem ??
nalezy wykazac,ze:
\(\displaystyle{ \forall x,y\in \mathfrak{V} \quad x+y\in \mathfrak{V}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \forall\lambda \ \ \forall x\in \mathfrak{V} \quad \lambda x \mathfrak{V}}\)

[Menomen]

dzieki za tak szybką odpowiedź. no własnie warunki miałem gorzej z praktyką. kompletnie nie wiem jak prawidłowo udowodnic ze warunki zachodza :/ miałen narazie tylko teorie z przestrzeni, ale nie wiem jak to zastosowac

[kuch2r]

No to zalozmy, ze:
\(\displaystyle{ r,s \mathfrak{V}}\)
Teraz pytanie czy \(\displaystyle{ r+s\in \mathfrak{V}}\)
Niech:
\(\displaystyle{ r=(x_1,y_1,z_1)\\s=(x_2,y_2,z_2)}\)
Rozwazmy:
\(\displaystyle{ r+s=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ (x_1+x_2)-3(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=x_1-3y_1+z_1+x_2-3y_2+z_2=1+1=2\neq 1}\)
Wniosek:
\(\displaystyle{ r+s \not\in \mathfrak{V}}\)

[Menomen]

aa xD wielkie dzieki