wyznacznik macierzy

[eerroorr]

obliczyć wyznacznik dla macierzy i macierz odwrotną ( o ile istnieje):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&3&3&5\\3&2&1&2&2\\1&2&3&4&5\\-1&0&-8&1&2\\7&2&1&3&2\end{array}\right]}\)
Jak próbuje obliczyć wyznacznik to wychodzi mi albo 33600 albo 50400...

[Amon-Ra]

Jak to liczysz? Wynik jest o wiele zbyt duży. O ile się nie pomyliłem (a raczej napisany przeze mnie program w C++ ) wynikiem jest -224.

[eerroorr]

Licze to z metody Gaussa, doprawadzam do postaci schodkowej, a potem wymnażam. Jest jakaś szybsza metoda ?

[JankoS]

Licze to z metody Gaussa, doprawadzam do postaci schodkowej, a potem wymnażam. Jest jakaś szybsza metoda ?

W Excelu też wychodzi -224.

Na co?
Na macierz odwrotną tak, tzn. to co stosuje Kolega, eliminacje Gaussa. Po kednej stronie, tradycyjnie po prawej, dopisujemy macierz jednostkową i przekształcamy wiersze obydwóch dotąd, aż po lewej otrzymamy macierz jednostkową. Jeżeli takiej macierzy jednostkowej po lewej nie możemy wyznaczyć, to macierz jest osobliwa (jej wyznacznik jest równy 0).
Ta macierz da się odwrócić, tylko trzeba się naliczyć, bo po lewej w każdej kolumnie i w każdym wierszu ma być dokładnie jedna 1, a reszta 0. Oj będzie liczenia.
Sam wyznacznik też można obliczyć "Gaussem" sprowadzając macierz do trójkątnej (jest wtedy równy - po spełnieniu warunków wynikających z własności wyznacznika - iloczynowi elementów głownej przekątnej).
W wyznaczniku Kolegi po łatwych przekształceniach można w pierwszej kolumnie, za wyjątkiem wiersza 3 albo 4 uzyskać same zera, i według niej rozwinąć (Laplace).
Jeżeli zadaniem jest tylko odwrócenie macierzy, to nue ma sensu liczenia wyznacznika, minorów dopełnień itp. tylko "jechać Gaussem" i albo wyjdzie albo nie. W tym drugim przypadku macierz jest osobliwa lub popełniono błąd.

[eerroorr]

W zadaniu trzeba obliczyć osobno wyznacznik i macierz odwrotną. Tak jak napisałem wcześniej, licząc wyznacznik korzystam z metody gaussa doprowadzając do postaci trójkątnej, tak jak to opisałeś, ale nie chce wyjść poprawnie. Jakie przekształcenia kolejno trzeba wykonować, żeby dobrze obliczyć ten wyznacznik ?

[JankoS]

Jakie przekształcenia kolejno trzeba wykonować, żeby dobrze obliczyć ten wyznacznik ?

Należy pamiętać, że
Pomnożenie wiersza przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę;
Zamiana miejscami dwóch wierszy, zmienia znak wyznacznika.

[ Dodano: 3 Kwietnia 2008, 14:32 ]

Tam gdzieś w tekście powinno być coś takiego "Z rysunku nie wychodzi wyznacznik 224, bo 6,222, to zaokrąglenie liczby \(\displaystyle{ 6\frac{2}{9}}\)".