Witam, mam nastepujący problem:
mam wykazać, ze definicja iloczynu skalarnego w układzie Kartezjusza
\(\displaystyle{ \vec{b} \bullet \vec{c}=b_n c_n}\) spełnia definicję iloczynu skalarnego.
Nie wiem, czy w poleceniu mają na myśli tę definicję? \(\displaystyle{ \vec{b} \bullet \vec{c}=b\cdot c cos }\)
bede wdzieczny za jakakolwiek wskazowkę
Definicja iloczynu skalarnego, układ Kartezjusza
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Definicja iloczynu skalarnego, układ Kartezjusza
Ogólna(*) definicja iloczyn skalarnego jest taka: jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych, to funkcję: \(\displaystyle{ \left< . , . \right> : V V \marhbb{R}}\) nazwiemy iloczynem skalarnym jeśli:
- \(\displaystyle{ \left< x,y \right> = ft< y,x \right>}\)
- \(\displaystyle{ \left< \alpha x,y \right> = ft< x,y \right>}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \mathbb{R}}\)
- \(\displaystyle{ \left< x+y,z \right>=\left< x,z \right>+\left< y,z \right>}\)
- \(\displaystyle{ \left< x,x \right> = 0 x=0}\)
Natomiast w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) określamy dla \(\displaystyle{ a= (a_1, \dots , a_n), b= (b_1, \dots , b_n)}\) :
\(\displaystyle{ \left< a,b \right> = \sum_{k=1}^{n} a_kb_k}\)
W zadaniu chodzi o to, by pokazać, że tak określona funkcja spełnia powyższą definicję iloczynu skalarnego. Wszystkie cztery warunki sprawdza się właściwie natychmiastowo.
Q.
(*) No, jest jeszcze ogólniejsza, ale taka tu wystarczy.
- \(\displaystyle{ \left< x,y \right> = ft< y,x \right>}\)
- \(\displaystyle{ \left< \alpha x,y \right> = ft< x,y \right>}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \mathbb{R}}\)
- \(\displaystyle{ \left< x+y,z \right>=\left< x,z \right>+\left< y,z \right>}\)
- \(\displaystyle{ \left< x,x \right> = 0 x=0}\)
Natomiast w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) określamy dla \(\displaystyle{ a= (a_1, \dots , a_n), b= (b_1, \dots , b_n)}\) :
\(\displaystyle{ \left< a,b \right> = \sum_{k=1}^{n} a_kb_k}\)
W zadaniu chodzi o to, by pokazać, że tak określona funkcja spełnia powyższą definicję iloczynu skalarnego. Wszystkie cztery warunki sprawdza się właściwie natychmiastowo.
Q.
(*) No, jest jeszcze ogólniejsza, ale taka tu wystarczy.