jądro i obraz przekształcenia liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
eerroorr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 366
Rejestracja: 8 kwie 2006, o 09:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 10 razy

jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: eerroorr »

Mam problem z zadaniami:
1. Wyznaczyć jądro i obraz przekształcenia określonego przez równanie liniowe:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+y+3z-2t+4u=1 \\ 2x+2y+7z-5t+3u=2 \\ -x+y+4z-3t-2u=1 \\x+3y+11z-8t+u=3 \end{cases}}\)

Na czym polega wyznaczanie jądra i obrazu ? Definicje,tych rzeczy nic mi nie mówią...

2. Niech A będzie operatorem liniowym. Wykazać, że:
a). A(0)=0
b). jeśli równanie A(x)=b ma dwa różne rozwiązania, to ma ich nieskończnie wiele.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: yorgin »

Co do pierwszego:
Jeśli układ ten zadaje odwozorowanie F to jest ono postaci:
\(\displaystyle{ F(x,y,z,t,u)=(3x+y+3z-2t+4u-1;2x+2y+7z-5t+3u-2;-x+y+4z-3t-2u-1;x+3y+11z-8t+u-3)}\)
uff.. Mam nadzieję że dobrze przepisałem.
Ok do rzeczy.
Wyznaczenie jądra tego odwzorowania to nic innego jak rozwiązanie danego układu równań, inaczej znalezenie takich \(\displaystyle{ a=(z,y,z,t,u)}\) by \(\displaystyle{ F(a)=0}\)
Jest 5 zmiennych, 4 równiania, ustalasz np x i rozwiązujesz ten układ pamiętając o tym, że x jest ustalony.

Wtedy wyjdzie Ci rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ (x,y(x),z(x),t(x),u(x))}\) t, że \(\displaystyle{ \forall_x F(x,y(x),z(x),t(x),u(x))=0}\)
To jest jądro tego odwzorowania, tzn \(\displaystyle{ kerF=lin(x,y(x),z(x),t(x),u(x))}\)
Dodatkowo \(\displaystyle{ dimkerF=1}\)
Ze wzoru \(\displaystyle{ dimX=rkF+dimkerF}\) mamy, że \(\displaystyle{ rkF=4}\) czyli wymiar obrazu to 4 zgodnie z przewidywaniem. Wobec tego obraz F to całe \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) (lub cokolwiek innego w co idzie odwzorowanie)

Zadanie 2 idzie prosto z deginicji.
Np
\(\displaystyle{ A(0)=A(0+0)=A(0)+A(0)\quad\parallel -A(0)\\
A(0)=0}\)
Awatar użytkownika
eerroorr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 366
Rejestracja: 8 kwie 2006, o 09:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 10 razy

jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: eerroorr »

Więc rozwiązałem ten układ równań i wyszło mi:
\(\displaystyle{ (x, y, z, t, u) = (\frac{1}{4}t + \frac{1}{4}z, - \frac{15}{4}z + \frac{11}{4}t + 1, z, t, 0), z, t R}\)
Z tego co napisałeś to rozwiązanie jest też jądrem przekształceń

Nie za bardzo rozumiem z tym obrazem i zadania 2.
ODPOWIEDZ