Sprawdzić, czy jeśli A*B=B*A to prawdziwy jest wzór na sześcian sumy A+B ?
Ten wzór okaże sie prawdziwy tylko nie wiem jak to formalnie udowodnić...?
sześcian sumy macierzy
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
sześcian sumy macierzy
Zalozmy, ze:
\(\displaystyle{ A\cdot B=B\cdot A}\)
Mamy wykazac,ze:
\(\displaystyle{ (A+B)^{3}=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}\)
Rozwazmy iloczyn:
\(\displaystyle{ (A+B)^2=(A+B)\cdot(A+B)=A\cdot A + B\cdot A+A\cdot B +B\cdot B}\)
Na mocy naszego zalozenia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (A+B)^{2}=A^2+B^2+2AB}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ (A+B)^{3}=(A+B)^{2}\cdot (A+B)=(A^2+B^2+2AB)\cdot (A+B)=A^2\cdot A + A^2\cdot B + B^2\cdot A+2AB\cdot A + 2AB\cdot B=A^3+A\cdot (A B)+B (B A)+2A(BA)+2AB^2=A^3+A^2B+(B\cdot B)\cdot A + 2A(BA)+2AB^2=....}\)
i dalej winno wyjsc
\(\displaystyle{ A\cdot B=B\cdot A}\)
Mamy wykazac,ze:
\(\displaystyle{ (A+B)^{3}=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}\)
Rozwazmy iloczyn:
\(\displaystyle{ (A+B)^2=(A+B)\cdot(A+B)=A\cdot A + B\cdot A+A\cdot B +B\cdot B}\)
Na mocy naszego zalozenia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (A+B)^{2}=A^2+B^2+2AB}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ (A+B)^{3}=(A+B)^{2}\cdot (A+B)=(A^2+B^2+2AB)\cdot (A+B)=A^2\cdot A + A^2\cdot B + B^2\cdot A+2AB\cdot A + 2AB\cdot B=A^3+A\cdot (A B)+B (B A)+2A(BA)+2AB^2=A^3+A^2B+(B\cdot B)\cdot A + 2A(BA)+2AB^2=....}\)
i dalej winno wyjsc
sześcian sumy macierzy
koledze w pewnym momencie uciekło \(\displaystyle{ B^{3}}\), mam nadzieję muller, że zauważyłeś.