mam pytanie jak sie rozwiazuje tego typu zadanka
zbadac czy istnieje przekształcenie liniowe
\(\displaystyle{ \phi(1,1,1)=(2,5,1) \ \phi(1,1,0)=(3,1,2)\ \phi(0,0,1)=(-1,4,-1)\ \phi(3,3,1)=(8,7,5)}\)
jesli istnieje to czy jest wyznaczone jednoznacznie
z gory dzięki za odpowiedź
przekształcenia liniowe
-
W_Zygmunt
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 53 razy
przekształcenia liniowe
\(\displaystyle{ \phi(1,1,1)=(2,5,1)\\ \phi(1,1,0)=(3,1,2)\\ \phi(0,0,1)=(-1,4,-1)\\ \phi(3,3,1)=(8,7,5)}\)
Czyli mamy \(\displaystyle{ \phi (X)\,=\,Y}\)
Przekształcenie liniowe przestrzeni
\(\displaystyle{ \mathbb{R}^3 \, w\, \mathbb{R}^3}\) ma postać:
\(\displaystyle{ Y\,=\,A\cdot X}\)
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{c}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\end{array}\right\]\,=\,\left\[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right\] ft\[\begin{array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{array}\right\]}\)
Podstawiając trzy z pośród czterech par wektorów \(\displaystyle{ {X} \,i\, {Y}}\)
otrzymamy układ 9-ciu równań liniowych. Rozwiązując znajdziemy macierz przekształcenia.
Następnie sprawdzamy czy obrazem czwartego wektora jest odpowiadający mu wektor.
Za jednoznaczność "odpowiada" wyznacznik macierzy.
Czyli mamy \(\displaystyle{ \phi (X)\,=\,Y}\)
Przekształcenie liniowe przestrzeni
\(\displaystyle{ \mathbb{R}^3 \, w\, \mathbb{R}^3}\) ma postać:
\(\displaystyle{ Y\,=\,A\cdot X}\)
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{c}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\end{array}\right\]\,=\,\left\[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right\] ft\[\begin{array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{array}\right\]}\)
Podstawiając trzy z pośród czterech par wektorów \(\displaystyle{ {X} \,i\, {Y}}\)
otrzymamy układ 9-ciu równań liniowych. Rozwiązując znajdziemy macierz przekształcenia.
Następnie sprawdzamy czy obrazem czwartego wektora jest odpowiadający mu wektor.
Za jednoznaczność "odpowiada" wyznacznik macierzy.