Mam problem z obliczeniem rzędu tej macierzy, nie udało mi sie utworzyc z niej macierzy schodkowej a z minoraami tez mam problem :/
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1&2&1\\0&0&1&1&1\\1&1&0&0&0\\0&0&1&1&2\\1&2&2&1&2\end{array}\right]}\)
Rząd macierzy 5x5
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Rząd macierzy 5x5
"1
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&1&1&1\\ 1&1&0&0&0\\[ 0&0&1&1&2] - [0&0&1&1&1]\\ [1&2&2&1&2] - [1&2&1&2&1]\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&1&1&1\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1& - 1&1\end{array}\right\]}\)
"2
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\[ 0&0&1&1&1] - [0&0&1& - 1&1]\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1& - 1&1\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&0&2&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1& - 1&1\end{array}\right\]}\)
"3
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&0&2&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1& - 1&1\end{array}\right\]^{T}=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 2&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]}\)
"4
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ [2&0&1&0&0] - [1&0&1&0&0]\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]}\)
"5
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\[ 2&2&0&0& - 1] + [1&0&0&0&1]\\[ 1&0&0&1&1] - [1&0&0&0&1]\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 3&2&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\end{array}\right\]}\)
"6
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&0&2&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1& - 1&1\end{array}\right\]^{T}=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 2&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]}\)
"7
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\[ 2&0&1&0&0] - [1&0&1&0&0]\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]}\)
"9
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\[ 2&2&0&0& - 1] + [1&0&0&0&1]\\ [1&0&0&1&1] - [1&0&0&0&1]\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 3&2&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\end{array}\right\]}\)
"11
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 3&2&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\end{array}\right\]^{T}=\left\[\begin{array}{ccccc}1&1&1&3&0\\ 0&0&0&2&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&0\end{array}\right\]}\)
"13
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}[1&1&1&3&0] - [0&0&0&2&0] - [1&0&0&0&0] - [0&0&1&0&0]\\ 0&0&0&2&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&0\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}0&1&0&1&0\\ 0&0&0&2&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&0\end{array}\right\]}\)
"15
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&1&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right\]}\)
\(\displaystyle{ DET\left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&1&1&1\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&1&1&2\\ 1&2&2&1&2\end{array}\right\]=DET\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&1&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right\]=2}\)
PS transpozycji nie trzeba było robić, tylko wykonywać działania na kolumnach.
(Mnie było łatwiej zapisywać w ten sposób.)
Skorzystałem z Derive i _TEX_iarz.exe
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&1&1&1\\ 1&1&0&0&0\\[ 0&0&1&1&2] - [0&0&1&1&1]\\ [1&2&2&1&2] - [1&2&1&2&1]\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&1&1&1\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1& - 1&1\end{array}\right\]}\)
"2
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\[ 0&0&1&1&1] - [0&0&1& - 1&1]\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1& - 1&1\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&0&2&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1& - 1&1\end{array}\right\]}\)
"3
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&0&2&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1& - 1&1\end{array}\right\]^{T}=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 2&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]}\)
"4
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ [2&0&1&0&0] - [1&0&1&0&0]\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]}\)
"5
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\[ 2&2&0&0& - 1] + [1&0&0&0&1]\\[ 1&0&0&1&1] - [1&0&0&0&1]\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 3&2&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\end{array}\right\]}\)
"6
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&0&2&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1& - 1&1\end{array}\right\]^{T}=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 2&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]}\)
"7
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\[ 2&0&1&0&0] - [1&0&1&0&0]\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 2&2&0&0& - 1\\ 1&0&0&1&1\end{array}\right\]}\)
"9
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\[ 2&2&0&0& - 1] + [1&0&0&0&1]\\ [1&0&0&1&1] - [1&0&0&0&1]\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 3&2&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\end{array}\right\]}\)
"11
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 3&2&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\end{array}\right\]^{T}=\left\[\begin{array}{ccccc}1&1&1&3&0\\ 0&0&0&2&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&0\end{array}\right\]}\)
"13
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}[1&1&1&3&0] - [0&0&0&2&0] - [1&0&0&0&0] - [0&0&1&0&0]\\ 0&0&0&2&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&0\end{array}\right\]=\left\[\begin{array}{ccccc}0&1&0&1&0\\ 0&0&0&2&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&0\end{array}\right\]}\)
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\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&1&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right\]}\)
\(\displaystyle{ DET\left\[\begin{array}{ccccc}1&2&1&2&1\\ 0&0&1&1&1\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&1&1&2\\ 1&2&2&1&2\end{array}\right\]=DET\left\[\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&1&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right\]=2}\)
PS transpozycji nie trzeba było robić, tylko wykonywać działania na kolumnach.
(Mnie było łatwiej zapisywać w ten sposób.)
Skorzystałem z Derive i _TEX_iarz.exe