Niech macierze \(\displaystyle{ A, B}\) beda macierzami kwadratowymi stopnia n , przy czym o macierzy B zakładamy, ze
jest odwracalna. Wykazac, ze macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B * A * B^{(-1)}}\) maja te same wartosci własne.
Niech macierze A i B...
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Niech macierze A i B...
Niech \(\displaystyle{ v}\) będzie wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\), a \(\displaystyle{ \lambda}\) odpowiadającą mu wartością własną. Mamy więc \(\displaystyle{ Av=\lambda v}\). Przyjmijmy \(\displaystyle{ w=Bv}\), czyli \(\displaystyle{ v=B^{-1}w}\). Mamy wówczas:
\(\displaystyle{ Av=\lambda v AB^{-1}w=\lambda B^{-1}w BAB^{-1}w=B\lambda B^{-1}w BAB^{-1}w=\lambda w}\)
Oznacza to, że \(\displaystyle{ w}\) jest wektorem własnym żądanej macierzy, a \(\displaystyle{ \lambda}\) odpowiadającą mu wartością własną.
Q.
\(\displaystyle{ Av=\lambda v AB^{-1}w=\lambda B^{-1}w BAB^{-1}w=B\lambda B^{-1}w BAB^{-1}w=\lambda w}\)
Oznacza to, że \(\displaystyle{ w}\) jest wektorem własnym żądanej macierzy, a \(\displaystyle{ \lambda}\) odpowiadającą mu wartością własną.
Q.