kombinacja wypukła, wektory prostopadłe

[martynka88]

mam takie zadania:
1. pokazać, że wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right]}\) jest kombinacja wypukłą wektorów \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}4\\0\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\4\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}4\\4\end{array}\right]}\).

2. znależć w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0}\) zbiór wektorów prostopadłych do wektora \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]}\)
proszę o pomoc. zrobiłam je w części i nie wiem co dalej. proszę o sposób rozwiązania. z góry dziękuję i pozdrawiam:)

[JankoS]

mam takie zadania:
1. pokazać, że wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right]}\) jest kombinacja wypukłą wektorów \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}4\\0\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\4\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}4\\4\end{array}\right]}\).

Mam pokazać, że istnieją rzeczywiste a, b, c, d takie że \(\displaystyle{ (*) \ a[0,0]+b[4,0]+c[04]+d[4.4]=[3,2], \ (**) \ a,b,c,d qslant 0, \ (***) \ a+b+c+d=1}\).
Zaczynam od (*). po dodaniu wektorów z lewej strony otrzymuję układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4b+4d=3\\4c+4d=2\end{cases} \begin{cases} b+d=\frac{3}{4}\\c+d=\frac{1}{4}.\end{cases}}\)
Jest to układ nieoznaczony. Wybieram jako rozwiązanie zbiór \(\displaystyle{ [c+\frac{1}{2},c,\frac{1}{4}-c], \ c R}\)
Wyznaczam wartości współczynników z warunku (**).
\(\displaystyle{ (a qslant 0 c+\frac{1}{2} qslant 0 c qslant 0 \frac{1}{4}-c qslant 0) (a qslant 0 0 qslant c qslant \frac{1}{4})}\).
Z warunku (***) \(\displaystyle{ a+c+\frac{1}{2}+c+\frac{1}{4}-c=a+c+\frac{3}{4}=1 a+c=\frac{1}{4}}\).
Obieram \(\displaystyle{ a=0, \ c=\frac{1}{4}}\). Wtedy \(\displaystyle{ b=\frac{3}{4}, \ d=0.}\)
Zad.2. Zadanie sprowadza się do znalezienia wektora \(\displaystyle{ [a,b,c]}\) prostopadłego do danego wektora i do wektora normalnego \(\displaystyle{ [1,1,1]}\) danej płaszczyzny. Korzystam z iloczynu skalarnego i mam układ \(\displaystyle{ [a,b,c][1,1,1]=a+b+c=0 [a,b,c][1,2,3]=a+2b+3c=0}\), który jest nieoznaczony. Wybieram rozwiązanie \(\displaystyle{ \{[c,-2c,c], \ c R\}}\).