Równanie płaszczyzny

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Adam8891
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 12 mar 2008, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieś
Pomógł: 3 razy

Równanie płaszczyzny

Post autor: Adam8891 »

Mam trzy punkty (-1,0,3), (1,-1,3), (0,0,1) i mam znaleźć równanie płaszczyzny w \(\displaystyle{ R^{3}}\) Rozwiązałem to tak ale nie wiem czy dobrze proszę o pomoc:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\-1&0&3&1\\1&-1&3&1\\0&0&1&1\end{array}\right| =0}\)
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Równanie płaszczyzny

Post autor: soku11 »

Ja to widze jakos tak:
1. Tworzymy jakies dowolne dwa wektory miedzy tymi punktami:
\(\displaystyle{ A=(-1,0,3)\ \ B=(1,-1,3)\ \ C=(0,0,1)\\
\vec{AB}=[ 2,-1,0 ]\\
\vec{BC}=[ -1,1,-2 ]\\}\)


Szukamy wektora prostopadlego do tych dwoch (a tym samym bedzie to wektor normalny plaszczyzny):
\(\displaystyle{ \vec{AB}\times\vec{BC}=[ 2,4,1 ]=\vec{n}\\
\pi:\ 2x+4y+z+D=0\\}\)


Aby otrzymac D wstawiamy jakis punkt, np C:
\(\displaystyle{ 0+0+1+D=0\\
D=-1\\
\pi:\ 2x+4y+z-1=0}\)


POZDRO
Adam8891
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 12 mar 2008, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieś
Pomógł: 3 razy

Równanie płaszczyzny

Post autor: Adam8891 »

a ten wektor n to się skąd wzioł?
Lukasz_C747
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieluń
Pomógł: 99 razy

Równanie płaszczyzny

Post autor: Lukasz_C747 »

Przyjęliśmy, że AB i BC rozpinają nam przestrzeń, a skoro wektor normalny (wektor n) jest do nich obu prostopadły to otrzymujemy go z iloczynu wektorowego obu wektorów.
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Równanie płaszczyzny

Post autor: soku11 »

Dokladnie. To jest zwykly iloczyn wektorowy. Najlepiej to sobie rozrysowac i wtedy wszystko widac. POZDRO
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Równanie płaszczyzny

Post autor: JankoS »

Adam8891 pisze:Rozwiązałem to tak ale nie wiem czy dobrze proszę o pomoc:
Wzór z wyznacznikiem jest dobry. Pozostają kwestie numeryczne. Można się "zaliczyć" licząc (w ogólnym przypadku) 4 wyznaczniki trzeciego stopnia.
Lepiej wybrać inny sposób, np. zaprezentowany przez Kolegę soku11
ODPOWIEDZ