Baza jądra, wymiar jądra,wymiar obrazu przekształcenia

[Adam8891]

danego wzorem \(\displaystyle{ R^{4} R ^{3}}\) . Tak jak w temacie, jak by ktoś napisał dokładnie co z czego sie robi dla:
\(\displaystyle{ T(x,y,z,t)=(2x+2y-z+t,2x-2y+z-3t,2x+2y+z-2t)}\)

[flake]

Macierz tego przekształcenia :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&2&-1&1\\2&-2&1&-3\\2&2&1&-2\end{array}\right]}\)

Po przeprowadzeniu eliminacji Gaussa :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&\frac{-1}{2}\\0&1&0&\frac{1}{4}\\0&0&1&\frac{-3}{2}\end{array}\right]}\)

stąd mamy rozwiązania :

\(\displaystyle{ x = \frac{1}{2} t}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{-1}{4} t}\)
\(\displaystyle{ z = \frac {-3}{2} t}\)
\(\displaystyle{ t =t (parametr)}\)

Baza jądra to baza rozwiazan fundamentalnych podanej macierzy (T). Mamy jeden parametr, podstawiamy za niego 1 i otrzymujemy

\(\displaystyle{ Ker T = lin { (\frac{1}{2}, \frac{-1}{4}, \frac {-3}{2}, 1)}}\)

wymiar jadra : \(\displaystyle{ dim Ker T = 1}\)

Aby znalezc obraz przeksztalcenia musisz transponowac macierz przeksztalcenia (zanim dokonalam eliminacji gaussa) i zredukowac ją poprzez eliminacje gaussa. Niezalezne wiersze tworza obraz. Liczba niezaleznych wierszy to wymiar obrazu. Mam nadzieje ze nie machnelam sie w obliczeniach. W razie jakichs pytan pisz

[Lukasz_C747]

\(\displaystyle{ T(x,y,z,t) = (2x+2y-z+t,2x-2y+z-3t,2x+2y+z-2t) = x(2,2,2)+y(2,-2,2)+z(-1,1,1)+t(1,-3,2)
\\
\\
ft[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\2&2&2\\1&-3&2\\2&-2&2\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\0&4&4\\0&-2&3\\0&0&4\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\0&4&4\\0&0&5\\0&0&4\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\0&4&4\\0&0&5\end{array}\right]
\\
\\
dim (Im T) = 3
\\
\\
ft[\begin{array}{cccc}-1&2&1&2\\1&2&-3&-2\\1&2&2&2\end{array}\right] ft[\begin{array}{c}x\\y\\z\\t\end{array}\right] = ft[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right] ft[\begin{array}{cccc}-1&2&1&2\\0&4&-2&0\\0&4&3&4\end{array}\right] ft[\begin{array}{c}x\\y\\z\\t\end{array}\right] = ft[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right] ft[\begin{array}{cccc}-1&0&2&2\\0&4&-2&0\\0&0&5&4\end{array}\right] ft[\begin{array}{c}x\\y\\z\\t\end{array}\right] = ft[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right] ft\{\begin{array}{l} -x+2z+2t=0\\4y-2z=0\\5z+4t=0 \end{array} ft\{\begin{array}{l} x=\frac{1}{2}z\\y=\frac{1}{2}z\\t=-\frac{5}{4}z \end{array}}\)
\(\displaystyle{ z R
\\
\\
ker T = \{(x,y,z,t): T(x,y,z,t)=0\} = \{(\frac{1}{2}z,\frac{1}{2}z,-\frac{5}{4}z,z): z\in R\}
\\
\\
dim (ker T) = 1}\)

Edit: No tak, jedna cyferka nie tak i trzeba wszystko poprawiać