wartości i wektory własne...

[natkoza]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-3&-1\\0&-4&-2\\0&9&5\end{array}\right]}\)
Wyznaczyc wartości i wektory własne. Mi wyszło, ze wartości własne to -1 i 2, ale jakoś nie chcą mi wyjść wektory, pomóżcie

[soku11]

Jesli dobrze pamietam z algebry to sie robilo to jakos tak:
\(\displaystyle{ \mbox{dla }\lambda =-1:\\
\left[ \begin{array}{ccc}
3&-3&-1\\
0&-3&-2\\
0&9&4\end{array}\right]}\)

Po operacji wierszowej\(\displaystyle{ w_1-w_2,\ \ w_3+2w_2}\) otrzymujemy macierz:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}
3&0&1\\
0&-3&-2\\
0&0&0\end{array}\right]}\)

Co nam daje:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
3x+z=0\\
-3y-2z=0\end{cases}\\
\begin{cases}
x=-\frac{1}{3}z\\
y=-\frac{2}{3}z\end{cases}\\
\begin{cases}
x=-\frac{1}{3}t\\y=-\frac{2}{3}t\\z=t\end{cases}\ \ t\in\mathbb{R}\\
t\cdot \left[ -\frac{1}{3},-\frac{2}{3},1 \right]}\)

Czyli pierwszy wektor wlasny to.:
\(\displaystyle{ \left[ -\frac{1}{3},-\frac{2}{3},1 \right]}\)

Dalej dla
\(\displaystyle{ \lambda=2:\\
\left[ \begin{array}{ccc}
0&-3&-1\\
0&-6&-2\\
0&9&3\end{array}\right]}\)

Znow operacje wierszowe \(\displaystyle{ w_2-2w_1,\ \ w_3-3w_1}\). I daje nam to:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}
0&-3&-1\\
0&0&0\\
0&0&0\end{array}\right]}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ -3y-z=0\\
y=-\frac{1}{3}z\\}\)

Daje nam to dwa wektory, bo o 'x' nam nic nie wiadomo:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=s\\y=-\frac{1}{3}r\\z=r\end{cases}\ \ s,r\in\mathbb{R}\\
s\cdot [ 1,0,0]+t\cdot \left[ 0,-\frac{1}{3},1 \right]}\)

Czyli te wektory wlasne to:
\(\displaystyle{ [ 1,0,0 ]\\
\left[ 0,-\frac{1}{3},1 \right]}\)

POZDRO