Obliczyc odleglosc

[MgielkaCuba]

a) punktu \(\displaystyle{ P=(1,-2,3) \ od \ plaszczyzny\\ \pi:x+y-3z+5=0}\)

b)płaszczyzn równoległych \(\displaystyle{ \pi_{1}:2x+y-2z=0,\pi_2: 2x+y-2z-3=0}\)

c)punktu \(\displaystyle{ P=(0,1,-1)do \ prostej \ l: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} \frac{z}{3}}\)

[soku11]

Zrobie np a)
\(\displaystyle{ \vec{n}=[ 1,1,-3 ]\\
P=( 1,-2,3 )
l:\begin{cases} x=1+t\\y=-2+t\\z=3-3t\end{cases}\ \ t\in\mathbb{R}}\)

Mamy wiec prosta przechodzaca prostopadle do plaszczyzny przez punkt P. Teraz szukamy punktu przeciecia sie tej prostej z plaszczyzna:
\(\displaystyle{ 1+t-2+t-3(3-3t)+5=0\\
-1+2t-9+9t+5=0\\
11t=5\\
t=\frac{5}{11}\\
P'=\left( \frac{16}{11},-\frac{17}{11},\frac{18}{11} \right)}\)

Mamy dwa punkty. Ich odleglosc to dlugosc wektora \(\displaystyle{ |\vec{P'P}|}\), czyli:
\(\displaystyle{ \vec{P'P}=[ 1-\frac{16}{11},-2+\frac{17}{11},3-\frac{18}{11} ]=
[ -\frac{5}{11},-\frac{5}{11},\frac{15}{11} ]\\
|\vec{P'P}|=\sqrt{2\cdot \frac{25}{11^2}+\frac{225}{11^2}}=
\sqrt{\frac{275}{11^2}}=
\frac{5\sqrt{11}}{11}}\)

Reszta analogicznie, tylko trzeba znalezc dobra metode POZDRO