Układ równań - metoda gaussa

[eerroorr]

Mam do rozwiązania te dwa równania za pomocą metody gaussa, jak zrobić to w sposób najbardziej prosty?

a). \(\displaystyle{ \begin{cases} 4x+3y-z+t=0\\2x-y+z-t=0\\x-y +t=0\\ y+2z+3t=0 \end{cases}}\)

b). \(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+y+3z-2t+4u=1 \\ 2x+2y+7z-5t+3u=2 \\ -x+y+4z-3t-2u=1 \\x+3y+11z-8t+u=3 \end{cases}}\)

[jasny]

Najpierw eliminujemy iksa, równanie trzecie zapisujemy jako pierwsze dla wygody, potem mnożymy je kolejno razy -4, -2 i dodajemy odpowiednio do pierwszego i drugiego:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x-y+t=0\\7y-z-3t=0\\y+z-3t=0\\y+2z+3t=0\end{array}}\)
Teraz eliminujemy igreka. Dla wygody zamieniamy kolejnością drugie z trzecim (tak, żeby przy y było 1), i mnożymy je kolejno razy -7 i -1, i dodajemy odpowiednio do drugiego i czwartego:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x-y+t=0\\y+z-3t=0\\-8z+18t=0\\z+6t=0\end{array}}\)
Na końcu eliminujemy zet, dwa ostatnie zamieniamy miejscami, czwarte mnożymy razy 8 i dodajemy do trzeciego
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x-y+t=0\\y+z-3t=0\\z+6t=0\\64t=0\end{array}}\)
Teraz idąc od końca wyliczamy kolejne zmienne, wszystkie akurat są równe 0.

[eerroorr]

A jak korzystając z metody eliminacji gaussa mogę rozwiązać tą macierz?:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc|c}3&1&3&-2&4&1\\2&2&7&-5&3&2\\-1&1&4&-3&-2&1\\1&3&11&-8&1 &3\end{array}\right]}\)

[jasny]

Co jak co, ale o rozwiązywaniu macierzy to nie słyszałem...

[mms]

Pewnie chodziło o sprowadzenie do postaci schodkowej. Robi się to identycznie jak z układem równań.

[eerroorr]

No właśnie z tym mam największy problem. Jak sprowadza się równanie do postaci schodkowej , są jakieś metody albo kolejność działań, które ułatwią zrozumienie tego ?

[soku11]

Najlatwiej jest to robic jakos tak. Przestawiamy wiersze by na gorze byly jakies jedynki:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc|c}
1&-1&-4&3&2&-1\\
3&1&3&-2&4&1\\
2&2&7&-5&3&2\\
1&3&11&-8&1 &3
\end{array}\right]}\)

I teraz doprowadzamy do postaci, zeby tylko w pierwszym wierszu na pierwszej pozycji stala jakas liczba, a pod nia same 0. Tj:
\(\displaystyle{ 1)\ w_2-3w_1\\
2)\ w_3-2w_1\\
2)\ w_4-w_1\\}\)

To nam da:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc|c}
1&-1&-4&3&2&-1\\
0&4&15&-11&-2&4\\
0&4&15&-11&-1&4\\
0&4&15&-11&-1&4
\end{array}\right]}\)

I tutaj juz widac, ze uklad jest sprzeczny. Jesli by jednak nie byl to dalej probujesz wyzerowac wszystko pod druga cyfra w drugim wierszu, pozniej pod 3 cyfra w 3 wierszu itd... POZDRO

[eerroorr]

Ok, już w miarę wiem o co chodzi, tylko jeszcze dwa pytania: jakie działania oprócz odejmowania mogę wykonywać na wierszach?
I drugie: jeśli układ nie jest sprzeczny i wyzeruje tak jak napisałeś co mam dalej zrobić, żeby obliczyć niewiadome ?

[soku11]

Mozesz dodawac, odejmowac wiersze od wierszy oraz mnozyc cale wiersze przez jakies stale (oczywiscie rozne od 0).

Co do drugiego pytania, to skoro uklad jest sprzeczny to nie ma zadnego rozwiazania .... POZDRO

[eerroorr]

A w sytuacji gdy układ nie jest sprzeczny, co mam robić dalej ?

[soku11]

No to tak jak pisalem. Zerujesz wszystko pod druga cyfra drugiego wiersza, pozniej pod 3 cyfra trzeciego itd... Wtedy dostaniesz takie schodki, ktorymi beda zera. POZDRO