Niech \(\displaystyle{ \varphi R, w R ^{3}}\). Definiujemy \(\displaystyle{ F(x)=cos\varphi(x- \frac{wx}{ww} w)+ \frac{sin\varphi}{||w||}(w \ x)+ \frac{wx}{ww}w}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x R ^{3}}\)
Wykazać, że F jest izometrią , tzn. że \(\displaystyle{ ||F(x _{1})-F(x _{2})||=||x _{1}-x _{2}||}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x _{1},x _{2} R ^{3}}\). Znaleźć F(w) .
Znaleźć macierz tej izometrii dla w = (0; 0; 1) , dla w = (1; 0; 0) oraz dla
w = (1; 1; 1) i obliczyć wartości własne znalezionych macierzy.