Wielomian dowolnej macierzy 3x3

[xavierbb]

Witam! Mam za zadnie policzyć wielomian charakterystyczny dla dowolnej macierzy 3x3. Utknąłem w jednym miejscu i nie mam pojęcia co dalej…

Po kolei:

Biorę dowolną macierz 3x3

\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right]}\)

Sprawa sprowadza się do policzenia:

\(\displaystyle{ P_{A}(x)=\det(xI_{3}-A)}\)

Licze:

\(\displaystyle{ \det \left(\left[\begin{array}{ccc}x&0&0\\0&x&0\\0&0&x\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right] \right) = \ldots = \\
=x^{3} - x^{2}(e+a+i) + x (ae+ei+ai-cg-fh-bd) - aei - dhc - gbf + cge + fha + bdi = \\
=x^{3} - x^{2}tr(A) + x (ae+ei+ai-cg-fh-bd) - \det(A)}\)

Jak widać poradziłem sobie ze wszystkim poza rozgryzieniem czym jest \(\displaystyle{ (ae+ei+ai-cg-fh-bd)}\)

I to jest właśnie moje pytanie. Być może popełniłem gdzieś błąd. Będę bardzo wdzięczny za każdą wskazówkę.

[JankoS]

I to jest właśnie moje pytanie. Być może popełniłem gdzieś błąd. Będę bardzo wdzięczny za każdą wskazówkę.

Teoretyczniie powinna to być suma wszystkich monorów głównych drugiego stopnia tej macierzy.
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}e&f\\h&i\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a&c\\g&i\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a&b\\d&e\end{array}\right|=}\) temu, co u Kolegi; pomyłki nie było.
Minor główny macierzy A, to każdy jej minor, którego główna przekątna zawiera się w przekątnej głównej macierzy A.
Dowodzi się, że jeżeli przez \(\displaystyle{ a _{k}}\) oznaczymy sumę minorów głównych stopnia k macierzy A, to
\(\displaystyle{ det(A-xI _{3})=(-1)x ^{n}+(-1) ^{n-1}a _{1} x ^{n-1}+...+(-1) ^{1}a _{n-1}x+(-1) ^{0}a.}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ a _{1}=trA, \ a _{n}=detA.}\)

[xavierbb]

Dzięki