wielomian

[majastrz2]

Jak wykazać, ze przez każde trzy punkty płaszczyzny, z których żadne dwa nie leżą
na jednej prostej pionowej przechodzi wykres dokładnie jednego wielomianu stopnia
niewiększego niż 2.

[Wasilewski]

Mam taki pomysł, że mamy dane 3 punkty:
\(\displaystyle{ A = (x_a, y_a) \ \ \ B=(x_b, y_b) \ \ \ C = (x_c, y_c) \\
x_a x_b x_c}\)
Ma to być wielomian stopnia nie większego niż 2, więc możemy zapisać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ax_a^2 + bx + c = y_a \\ ax_b^2 + bx_b + c = y_b \\ ax_c^2 + bx_c + c = y_c \end{cases}}\)
z niewiadomymi a, b i c. Wyznacznik jest równy:
\(\displaystyle{ detA = x_a^2x_b + x_b^2x_c + x_c^2x_a - x_b^2x_a - x_a^2x_c - x_c^2x_b}\)
Gdy któryś ze współczynników jest równy zero, to można łatwo pokazać, że jest on różny od zera, na przykład:
\(\displaystyle{ x_a = 0 detA = x_b^2x_C - x_c^2x_b = x_bx_c(x_b - x_c) 0}\)
Gdy żaden ze współczynników nie jest równy zero, to trochę trudniej, ale zapewne o to chodzi w zadaniu.

[Qń]

Gdy żaden ze współczynników nie jest równy zero, to trochę trudniej, ale zapewne o to chodzi w zadaniu.

Ale nie tak znowu bardzo trudno (zmieniłem indeksy, żeby nie było konfliktu oznaczeń) :
\(\displaystyle{ detA = x_1^2x_2 + x_2^2x_3 + x_3^2x_1 - x_2^2x_1 - x_1^2x_3 - x_3^2x_2 = \\ =
(x_1-x_2)\cdot (x_2-x_3)\cdot (x_1-x_3)}\)
A ponieważ \(\displaystyle{ x_i}\) są różne, to i ten wyznacznik jest niezerowy. Jest to zresztą szczególny przypadek faktu, że macierz Vandermonde'a ma niezerowy wyznacznik dla różnych \(\displaystyle{ x_i}\).

Q.

[Wasilewski]

Sprytne, próbowałem jakiś iloczyn wyciągać przed nawias, nie wpadłem na pomysł, by wyciągnąć różnicę.