macierz do postaci schodkowej

[ardento]

czy ktos to rozgryzie? trzeba rozwiazac rownania sprowadzaja do postaci schodkowej zredukowanej i zapisac rozwiazanie stosujac zmienne zwiazane i parametry.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}-2x_{2}+2x_{3}-4x_{4}+2x_{5}=2\\
2x_{1}+x_{2}+4x_{3}-3x_{4}-x_{5}=9\\
-3x_{1}+5x_{2}-6x_{3}+11x_{4}-5x_{5}=3
\end{cases}}\)

jak to sie redukuje do tej postaci?

[soku11]

Mamy wiec macierz:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc|c}1&-2&2&-4&2&2\\
2&1&4&-3&-1&9\\
-3&5&-6&11&-5&3\end{array}\right]}\)

Wykonujemy na niej nstp operacje wierszowe:
\(\displaystyle{ 1)\ w_2 -2w_1\\
2)\ w_3+3w_1\\
3)\ w_3\ ftrightarrow\ w_2\\
4)\ w_3+5w_1\\
5)\ w_1-2w_2}\)

I wychodzi:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc|c}1&0&2&-2&0&-16\\
0&-1&0&-1&1&9\\
0&0&0&8&-4&46\end{array}\right]}\)

Jesli nic nie pomylilem w obliczeniach to jest ok. POZDRO

[ardento]

dzieki,a wypisanie zmiennych i parametrów to: (?)\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{3}-2x_{4}=-16\\-x_{2}-x_{4}+x_{5}=9\\
8x_4-4x_{5}=46 \end{cases}}\)


i potem rozwiaznie ukladu, czy tak?

[soku11]

Nie zauwazylem, ale mozna jeszcze wyzerowac jedno miejsce:
\(\displaystyle{ w_2+\frac{1}{4}w_3\\
w_2 (-1)\\}\)

Co nam daje:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc|c}1&0&2&-2&0&-16\\ 0&1&0&-1&0&-\frac{41}{2}\\ 0&0&0&8&-4&46\end{array}\right]}\)

I teraz tworzymy taki uklad:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1+2x_3-2x_4=-16\\
x_2-x_4=-\frac{41}{2}\\
8x_4-4x_5=46\end{cases}}\)

Teraz zauwazamy, ze mielismy 3 rownania a 5 zmiennych, tak wiec bedzie rozwiazanie w zaleznosci od 2 parametrow. Odrazu widac, ze trzeba za nie wziac \(\displaystyle{ x_4}\) (bo sie powtarza w 3 rownaniach) oraz \(\displaystyle{ x_3}\) albo \(\displaystyle{ x_1}\) (z pierwszego trzeba wyznaczyc jedna zmienna a mamy 3). Wezmy np tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=2x_4-2x_3-16\\
x_2=x_4-\frac{41}{2}\\
-4x_5=46-8x_4\end{cases}}\)

I wyznaczajac do konca:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=2x_4-2x_3-16\\
x_2=x_4-\frac{41}{2}\\
x_5=2x_4-\frac{23}{2}\end{cases}}\)

I to jest juz nasz ostateczne rozwiazanie (zalezne od 2 parametrow - \(\displaystyle{ x_4,\ x_3}\). POZDRO