Dowód nierówności Schwarza

[qba]

Witam,
\(\displaystyle{ \forall _{x,y E}}\)\(\displaystyle{ (x,y)^{2} qslant (x,x)(y,y)}\)
jako element dowodu mam
Jeżeli y = 0 to nierówność jest oczywista (dlaczego?)
później: Ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ \alpha R}\) \(\displaystyle{ (x-\alpha y, x-\alpha y) qslant 0}\) (skąd im sie wzięło to \(\displaystyle{ (x-\alpha y, x-\alpha y)}\)?)

widzę tam także że doprowadzają to tam do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \alpha^{2}(y,y)-2\alpha(x,y)+(x,x) qslant 0}\)
i pozniej na podstawie powyższego wzoru i tego że trójmian kwadratowy jest nieujemny dla \(\displaystyle{ \alpha}\) tylko gdy \(\displaystyle{ \delta qslant 0}\) mówią że zachodzi
\(\displaystyle{ (x,y)^{2}-(x,x)(y,y) qslant 0}\) (jak do tego doszli?)
Dowód z książki Bolesława Gleichgewichta

[Qń]

Jeżeli y = 0 to nierówność jest oczywista (dlaczego?)

Bo bo obu stronach mamy wtedy 0.

(skąd im sie wzięło to \(\displaystyle{ (x-\alpha y, x-\alpha y)}\)?)

W jakim sensie "skąd się wzięło"? Pytasz jak ktoś wpadł na pomysł by tak to udowodnić? Na pytanie skąd się biorą dobre pomysły ciężko odpowiedzieć - to pewnie po trosze kwestia inteligencji, kreatywności, wyobraźni i zapewne czegoś w rodzaju daru.

trójmian kwadratowy jest nieujemny dla \(\displaystyle{ \alpha}\) tylko gdy \(\displaystyle{ \Delta qslant 0}\) mówią że zachodzi \(\displaystyle{ (x,y)^{2}-(x,x)(y,y) qslant 0}\) (jak do tego doszli?)

To wyrażenie to właśnie prawie delta trójmianu kwadratowego (dokładniej jej jedna czwarta).

Q.

[qba]

w sensie dlaczego \(\displaystyle{ (x-\alpha y, x-\alpha y)}\) miałoby być większe od 0?
cóż to jest?


i to że to jest "prawie" delta wystarczy?

[Qń]

w sensie dlaczego \(\displaystyle{ (x-\alpha y, x-\alpha y)}\) miałoby być większe od 0?
cóż to jest?

To jest kwadrat normy wektora, a jako taki jest nieujemny.

i to że to jest "prawie" delta wystarczy?

Skoro wywnioskowaliśmy już, że delta jest niedodatnia i zauważyliśmy, że nasza nierówność jest temu równoważna, to tak, wystarczy, to już koniec.

Q.

[JankoS]

w sensie dlaczego \(\displaystyle{ (x-\alpha y, x-\alpha y)}\) miałoby być większe od 0?
cóż to jest?
i to że to jest "prawie" delta wystarczy?

Kolega Qń wyjaśnił to za pomocą normy. Spróbuję inaczej. "Robię" ten iloczyn skalarny
\(\displaystyle{ (x-ay,x-ay)=(x,x)-2a(x,y)+a ^{2} (y,y) ^{2}=((x,x) -a(y,y)) ^{2} \geqslant 0.}\)
Problemy z deltą wynikają prawdopodobnie z tego, że w trójmianie \(\displaystyle{ (x,x)-2a(x,y)+a ^{2} (y,y)}\) zmienną, względem której wyznacza się deltę jest a. Więc
\(\displaystyle{ 0 \geqslant \frac{4(x,y) ^{2}-4(x,x)(y,y)}{(y,y)}}\) i dalej prosta nierówność (\(\displaystyle{ (y,y)>0}\)).

[Qń]

\(\displaystyle{ (x-ay,x-ay)=(x,x)-2a(x,y)+a ^{2} (y,y) ^{2}}\)

Ta równość jest nieprawdziwa, bo \(\displaystyle{ (ay,ay) a^2(y,y)^2}\). A argumentu, że \(\displaystyle{ (v,v) qslant 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ v}\) nie da się raczej ani pominąć, ani uzasadnić istotnie inaczej niż przy użyciu pojęcia normy.

Q.

[JankoS]

\(\displaystyle{ (x-ay,x-ay)=(x,x)-2a(x,y)+a ^{2} (y,y) ^{2}}\)

Ta równość jest nieprawdziwa, bo \(\displaystyle{ (ay,ay) a^2(y,y)^2}\).

Pierwszy "kwadrat" wpisał mi się... przypadkowo, o czym innym pmyślałem (\(\displaystyle{ (y,y)=y ^{2}}\)?... Drugi się powielił.

A argumentu, że \(\displaystyle{ (v,v) qslant 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ v}\) nie da się raczej ani pominąć, ani uzasadnić istotnie inaczej niż przy użyciu pojęcia normy.

No, nie wiem. Warunek \(\displaystyle{ (v,v) qslant 0}\) jest nieodłącznym elementem każdej znanej mi definicji iloczynu skalarnego i musi go spełniać funkcja \(\displaystyle{ ,:V V R}\) mająca być iloczynem skalrnym.
Inna rzeczą jest,że można zamiast niego przyjąć \(\displaystyle{ ( \vec{0} , \vec{0})=0}\) i wtedy nieujemność wynika z tego ostatniego i z nierówności trójkąta.
A co do normy. Zazwyczaj pojęcie iloczynu skalrnego wprowadza się przed pojęciem normy, i najczęściej pierwszą normę definiuje się przy pomocy tego pierwszego.
Pozdrawiam.
JanKo

[Qń]

A argumentu, że \(\displaystyle{ (v,v) qslant 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ v}\) nie da się raczej ani pominąć, ani uzasadnić istotnie inaczej niż przy użyciu pojęcia normy.

No, nie wiem. Warunek \(\displaystyle{ (v,v) qslant 0}\) jest nieodłącznym elementem każdej znanej mi definicji iloczynu skalarnego i musi go spełniać funkcja \(\displaystyle{ ,:V V R}\) mająca być iloczynem skalarnym.

Ok, zgoda, choć według mnie nie jest to "istotnie inaczej", ale wyraziłem się nieściśle, więc przyznaję rację.

A co do normy. Zazwyczaj pojęcie iloczynu skalrnego wprowadza się przed pojęciem normy, i najczęściej pierwszą normę definiuje się przy pomocy tego pierwszego.

Nie znam chyba żadnej książki w której pojęcie iloczynu skalarnego pojawiłoby się przed pojęciem normy, podobnież na moich studiach najpierw powiedziano nam czym jest norma. Prawdą jest natomiast, że w przestrzeniach unitarnych normę wprowadza się przy użyciu iloczynu skalarnego (i to mam mniej więcej na myśli twierdząc, że argument o własności normy w takiej przestrzeni oraz argument o własności iloczynu skalarnego to argumenty z tej samej półki, a nie "istotnie różne").

Q.

[Nesquik]

a dlaczego własnie delta musi tu być mniejsza bądź równa zero?