Podobieństwo

[prosiaczek21]

Podaj wzór podobieństwa P, dla którego jednocześnie spełnione są warunki:
- obraz punktu (0,0) leży w odleglości \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) od początku ukladu współrzędnych,
- oś OX przechodzi na prostą x + y = 0,
- skala podobieństwa wynosi 3,
- przekształcenie Pzmienia orientację.

Z góry dziękuję za pomoc .

[JankoS]

Podaj wzór podobieństwa P, dla którego jednocześnie spełnione są warunki:
- obraz punktu (0,0) leży w odleglości \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) od początku ukladu współrzędnych,
- oś OX przechodzi na prostą x + y = 0,
- skala podobieństwa wynosi 3,
- przekształcenie Pzmienia orientację.

Zdaje mi sięm że bedzie ciężko. Przy tych warunkach podobieństw takich jest wiele.
Wiadomo, że podobieństwo jest złożeniem izometrii i jednokładności. U nas tą jednokładnością jest jednoiładność o środku O (później go przesunę) i skali 3 \(\displaystyle{ J ^{3} _{O}.}\) Jej macierz
\(\displaystyle{ C=\left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)
Biorę się za izometrie.
1. Zmieniam orientację Izometrią jest symetria osiowa o osi \(\displaystyle{ y=x, S _{y=x}}\)
Stąd macierz tegoo przekształcenia
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right].}\) Nie jestem pewien tej macierzy.
2. Oś OX przechodzi na prostą x + y = 0. Czyni to obrót o środku O i kącie -45 stopni, \(\displaystyle{ O ^{-45 ^{\circ} } _{O} .}\) jego macoerz to
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}cos(-45 ^{\circ}) &-sin(-45 ^{\circ})&0\\sin(-45 ^{\circ})&cos(-45 ^{\circ})&0\\0&0&1\end{array}\right]
=\left[\begin{array}{ccc} \frac{ \sqrt{2}}{2} & \frac{ \sqrt{2}}{2}&0\\
-\frac{ \sqrt{2}}{2}&\frac{ \sqrt{2}}{2}&0\\0&0&1\end{array}\right].}\)
3.obraz punktu (0,0) leży w odleglości \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) od początku ukladu współrzędnych. (ten warunek czyni rozwiazanie niejednoznacznym.) Czyni to translacja o wektor \(\displaystyle{ (a,b),}\) taki żę \(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}=2, \ \ T _{[a,b]}}\) Jej macierz
\(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{ccc}1&0&a\\0&1&b\\0&0&1\end{array}\right], a ^{2}+b ^{2}=2}\)
Teraz spróbuję to wszystko złożyć:
\(\displaystyle{ P=T _{[a,b]} \circ J ^{3} _{O} \circ O ^{-45 ^{\circ} } _{O} \circ S _{y=x}, \ \ a ^{2}+b ^{2}=2.}\)

Macierz P podobieństwa dostaję przez pomnożenie wszystkich macierzy. W macierzach stosowane są współrzędne jednorodne, Żeby wyznaczyć obraz punktu (x,y) w podobieństwie P o macierzy P należy pomnożyć tę macierz przez (x,y,1) a w otrzymanym wektorze pominąć ostatni wiersz.