rozwiązanie ogólne układu

[agulec]

Co to właściwie oznacza- podać rozwiązanie ogólne układu równań liniowych z trzema niewiadomymi i jak je obliczyć?


Licze najpierw rząd macierzy podstawowej i rozszerzonej żeby sprawdzić czy w ogóle istnieje, a potem wyznaczyć jednego iksa w zależności od dwóch pozostałych i jakoś rozwiązywać układ czy też wziąć jakiś parametr?

Czy mogę jakoś je wywnioskować na podstawie rozwiązania bazowego? (na egzaminie trzeba było ten sam przykład rozwiązać również metodą tabeli)


I jeszcze drugie pytanie: jak rozwiązywać jednorodne układy równań?

[JankoS]

Co to właściwie oznacza- podać rozwiązanie ogólne układu równań liniowych z trzema niewiadomymi i jak je obliczyć?

Jeśli układ jest nieoznaczony (ma nieskończonie wiele rozwiązań), to rozwiązanie ogólne jest wzorem, z którego można otzymać każde szczegółowe rozwiązanie tego układu.
Rozważmy układ
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=5\\-x-z=1\\y=1 \end{array} ft\{\begin{array}{l}x+z=4 \\y=1 \end{array} ft\{\begin{array}{l}x=4-z \\y=1 \end{array}.}\)
Tutaj rozwiązaniem ogólnym są wektory \(\displaystyle{ (4-z,1,z), \ \ z R.}\) Rozwiązanie szczegółowe zależy od decyzjji, co do wartości z, dlatego też tę niewiadomą nazywa się zmienna decyzyjną lub parametrem i, często, oznacza inną literą, np. t. W przypadku układów nieoznaczonych wybór parametru (-ów) jest w pewnym stopniu dowolny, J tak w tym przykładzie równie dobrze za parametr można przyjąć wektor \(\displaystyle{ x}\)i wtedy rozwiązanie ogólne ma postać \(\displaystyle{ (x,1,4-x).}\)

Licze najpierw rząd macierzy podstawowej i rozszerzonej żeby sprawdzić czy w ogóle istnieje, a potem wyznaczyć jednego iksa w zależności od dwóch pozostałych i jakoś rozwiązywać układ czy też wziąć jakiś parametr?

Jeżeli nie ma konkretnego polecenia do zastosowania twierdzenia Kroneckera-Capellego, to to najlepiej układ od razu rozwiązywać. W trakcie rozwiązywania "wychodzi" jaki jest: oznaczony, sprzeczny czy nieoznaczony.
Nie bardzo wiem jaką tabelę Koleżanka ma na myśli, ale w nich wszystkich chyba w ostatniej kolumnie są wyrazy wolne. Jeśli liczba niezerowych wierszy w tabeli jest mniejsz od liczby niewiadomych, to dowolne niewiadome, których wartości jeszcze nie znamy można przenieść z przeciwnym znakiem do kolumny wyrazów wolnych - wtedy stają się one parametrami- aż liczba wierszy będzie równa liczbie niewiadomych, które nie są parametrami.
To czy x zależy od jednego z pozostałych, czy od dwóch zależy od konkretnego przypadku. W naszym przykładzie parametr jest jeden. w poniższym \(\displaystyle{ x+y+z=1}\) parametry są dwa, np. \(\displaystyle{ x=1-y-z.}\) Rozwiązaniem ogólnym są trójki \(\displaystyle{ (1-y-z, y,z), \ \ y,z R.}\)

Czy mogę jakoś je wywnioskować na podstawie rozwiązania bazowego?

(Podeirzewam, że Koleżanka rozwiązywała układ algorytmem simpleks.) Na podstawie jednego nie, na podstawie dwóch i większej liczby tak. Np.jeżeli trójki \(\displaystyle{ (1,1,-1), (1,0,1)}\) są rozwiązaniami bazowymi jakiegoś układu, to jego rozwiązanie jest też ich dowolna kombinacja wypukła \(\displaystyle{ a (1,1,-1)+(1-a)(1,0,-10, \ \0 qslant a qslant 1.}\)

I jeszcze drugie pytanie: jak rozwiązywać jednorodne układy równań?

Nie ma (?) specjalnej metody przeznaczonej tylko do rozwiązywania układu jednorodnego. Rozwiązuje się je tak jak inne liniowe układy