Witam,
czy dobrze to tutaj opisałem?
jeżeli nie proszę o poprawki
ogólnie żeby znaleźć macierz jakiegoś przekształcenia liniowego z jednej przestrzeni o bazie \(\displaystyle{ (e_i)_1^n}\)
do drugiej przestrzeni o bazie \(\displaystyle{ (g_i)_1^n}\)
obraz każdego elementu e_i należy przedstawić jako liniową kombinację elementów g_i
i skalary kombinacji obrazu i-tego generatora e tworza i-tą kolumne macierzy przejścia…
\(\displaystyle{ f(e_1) = _{11} g_1 + _{21} g_2 + \ldots \ + _{n1} g_n}\)
\(\displaystyle{ f(e_2) = _{12} g_1 + _{22} g_2 +\ldots \ + _{n2} g_n}\)
\(\displaystyle{ f(e_3) = _{13} g_1 + _{23} g_2 + \ldots \ + _{n3} g_n}\)
\(\displaystyle{ \ldots}\)
\(\displaystyle{ f(e_m) = _{1m} g_1 + _{2m} g_2 + \ldots \ + _{nm} g_m}\)
Macierz przekształcenia liniowego:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}\alpha_{11} & _{12} & _{13} & \ldots & _{1m} \\\alpha_{21} & _{22} & _{23} & \ldots & _{2m} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ _{n1} & _{n2} & _{n3} & \ldots & _{nm} \end{array}\right]}\)
Jeżeli dany wektor x jest wektorem własnym przekształcenia f, to istnieje skalar (lambda) będący jego wartością własną, taki że jego (wektora własnego) obraz można przedstawić jako
\(\displaystyle{ f(x)=\lambda x}\)
A w treści zadania mamy podane, że to endomorfizm czyli przestrzenie są te same i bazy też.
Czyli obraz każdego z wektorów własnych musimy przedstawić jako liniową kombinację wektorów własnych…
\(\displaystyle{ f(x_1) = _{11} x_1 + _{21} x_2 + \ldots + _{n1} x_n
f(x_2) = _{12} x_1 + _{22} x_2 + \ldots + _{n2} x_n
\ldots
f(x_m) = _{1n} x_1 + _{2n} x_2 + \ldots + _{nn} x_n}\)
Z uwagi na fakt, że \(\displaystyle{ f(x)=\lambda x}\) trywialnie prostym jest zauważenie, że:
\(\displaystyle{ f(x_1) = \lambda_1 x_1 + 0 x_2 + \ldots + 0 x_n
f(x_2) = 0 x_1 + \lambda_2 x_2 + \ldots + 0 x_n
\ldots
f(x_n) = 0 x_1 + 0 x_2 + \ldots + \lambda_n x_n}\)I robimy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}\lambda_1 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda_n \end{array}\right]}\)
Jest to macierz diagonalna