obraz i przeciwobrazprzeksztalcenia liniowego

[natkoza]

Przekształcenie linioew \(\displaystyle{ \phi:K^2\rightarrow K^3}\) dane jest wzorem \(\displaystyle{ \phi(\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2x+3y\\x-y\\3y\end{array}\right])}\) wyznaczyć:
a) obrazy podprzestrzeni: \(\displaystyle{ K^2,lin(\left[\begin{array}{ccc}1\\0\\\end{array}\right]),lin(\left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]),\{\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]\in K^2:2x+3y=0\}}\)
b) przeciwobrazy poprrzestrzeni: \(\displaystyle{ K^3,\{\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]\},lin(\left[\begin{array}{ccc}2\\1\\3\end{array}\right]),lin(\left[\begin{array}{ccc}2\\1\\0\end{array}\right]),lin(\left[\begin{array}{ccc}3\\-1\\3\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0\\1\\0\end{array}\right])}\)

[N4RQ5]

a)
\(\displaystyle{ \phi(K^2)=lin(\phi(\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]),\phi(\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]))
=lin(\left[\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\-1\\3\end{array}\right])}\)
Resztę przykładów robi się podobnie tylko zamiast przestrzeni rozpiętej na obrazach dwóch wektorów mamy przestrzenie 1 wymiarowe. W razie wątpliwości to ostatni zbiór to: \(\displaystyle{ lin(\left[\begin{array}{c}3\\-2\end{array}\right])}\)
b)
By znaleźć przeciwobrazy przestrzeni musisz wziąć jej wektory bazowe. Znaleźć ich przeciwobrazy, przez przyrównanie do wzoru funkcji i rozwiązanie takiego układu równań.
Dla przykładu zróbmy przeciwobraz przestrzeni zerowej.
\(\displaystyle{ \phi(\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right])=\left[\begin{array}{ccc}2x+3y\\x-y\\3y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right] \\ 3y=0 y=0
\\ x-y=0 x=0}\)
Więc przeciwobraz zera to zero. (Co akurat wynika z liniowości \(\displaystyle{ \phi}\))

Liczę że z resztą poradzisz sobie sama i że wyjaśniłem wystarczająco klarownie.

[natkoza]

ok, dzięki, a mógłbyś dokładniej rozpisać to ostatnie z a) oraz pierwszy z b) bo cos mi nie wychodzą :/

[N4RQ5]

a)
\(\displaystyle{ A=\{[x,y]: 2x+3y=0\} \\
2x=-3y x=\frac{-3}{2}y\\
A=lin(\left[\frac{-3}{2},1\right])=lin([-3,2])}\)
Zatem potrzebny nam obraz wektora [-3,2].
\(\displaystyle{ \phi(\lin(\left[\begin{array}{c}-3\\2\end{array}\right]))=
lin(\phi(\left[\begin{array}{c}-3\\2\end{array}\right]))=
lin(\left[\begin{array}{c}0\\-5\\6\end{array}\right])}\)

b)
Tu pierwszy przykład tak wprost wymaga użycia innej bazy niż standardowa. Na pierwszy rzut oka zdaje się że przeciwobraz k^3 powinien być całym K^2. Pozostaje uzasadnić dlaczego.
Wiemy że
\(\displaystyle{ \phi(K^2)=lin(\left[\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\-1\\3\end{array}\right])}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \phi(K^2) K^3\\
\phi^{-1}(\phi(K^2))=K^2\\
\phi^{-1}(\phi(K^2)) \phi^{-1}(K^3) K^2}\)
Czyli mamy równość.