znaleźc podprzestrzeń dopełniająca podprzestrzeni

[natkoza]

Dla danej podprzetsrzeni \(\displaystyle{ U}\) prestrzeni \(\displaystyle{ V}\) znaleźc podprestrzeń dopełniającą, gdzie:
a) \(\displaystyle{ V=R^3,U=sol(x_1-3x_3=0)}\)
b) \(\displaystyle{ V=Z_5^4.U=lin([1,2,2,0],[1,1,2,1],[1,1,1,2],[2,3,1,4])}\)

[JankoS]

Dla danej podprzetsrzeni \(\displaystyle{ U}\) prestrzeni \(\displaystyle{ V}\) znaleźc podprestrzeń dopełniającą, gdzie:
a) \(\displaystyle{ V=R^3,U=sol(x_1-3x_3=0)}\)
b) \(\displaystyle{ V=Z_5^4.U=lin([1,2,2,0],[1,1,2,1],[1,1,1,2],[2,3,1,4])}\)

Proszę do tego, szczególnie punktu a) podejść bardzo krytycznie.
a). Domyślam się, że \(\displaystyle{ sol(x _{1}-3x _{3}=0)}\) oznacza zbiór rozwiązań tego równania, natomiast podprzestrzeń dopełniająca \(\displaystyle{ U \ do \ V \ to \ W,}\) taka że \(\displaystyle{ U \oplus W=V.}\)
\(\displaystyle{ x sol(x _{1}-3x x Lin([3,t,1], \ \ t R).}\) szukam wektorów \(\displaystyle{ y,z R ^{3},}\) takich że x, y, z są liniowo niezależne. Wydaje mi się, że są nimi \(\displaystyle{ [1,0,0], \ \ [0,-1,t].}\) Łatwo sprawdzić, że są one liniowo niezależne, więc \(\displaystyle{ W=Lin([1,0,0], \ \ [0,-1,t], \ \ t R).}\)
b) Nie woem, co oznacza \(\displaystyle{ Z ^{4} _{5} .}\) Wiem, tylko, że wymiar tej przestrzeni jes 4 i to powinno wystarczyć. Wszystkie cztery wektory z domknięcia Lin są liniowo zależne, ale trzy pierwsze już nie. Muszę więc znaleźć wektor niezależny liniowo od \(\displaystyle{ [1,2,2,0],\ \ [1,1,2,1], \ \ [1,1,1,2].}\) Jednym z nich jest \(\displaystyle{ [0,0,0,1].}\) Więc \(\displaystyle{ W=Lin([0,0,0,1]).}\)