Znalexć bazę każdej w wypisanych podprzestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\) oraz bazę sumy algebraichnej \(\displaystyle{ U_i+U_j}\)jak i części wspólnej \(\displaystyle{ U_i\cap U_j}\)każdej pary podprzetrzeni:
\(\displaystyle{ U_1=lin(\left[\begin{array}{ccc}2\\1\\-1\\1\end{array}\right] , ft[\begin{array}{ccc}3\\0\\1\\-1\end{array}\right], ft[\begin{array}{ccc}4\\-1\\1\\-3\end{array}\right])\\
U_2= lin(\left[\begin{array}{ccc}1\\-1\\2\\-2\end{array}\right], ft[\begin{array}{ccc}4\\0\\-0\\-3\end{array}\right])\\
U_3=\{\left[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right]\in R^4:x_1-x_2+x_3+x^4=0\}}\)
Prosiłąbym w miarę moziwosci o dokładnei rozwiązanie, bo kompletnie nie wiem jak sie zabrać za takiego typu zadania
Znajdź bazę podprzestrzeni R4
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Znajdź bazę podprzestrzeni R4
Wektory, na których domknięciem jest przestrzeń \(\displaystyle{ U _{1}}\) są liniowo niezależne więc mogą być jej bazą, \(\displaystyle{ B _{1}=\{(2,1,-1,1), \ \ (3,0,1,-1), \ \ (4
-1,1-3)\}. \ \ dimU _{1}=3.}\)
Analogicznie z przestrzenią \(\displaystyle{ U _{2}, \ \ B _{2}=\{a=(1,-1,2,-2), \ \ b=(4,0,0,-3)\}, \ \ dimU _{2}=2.}\)
W \(\displaystyle{ B _{3}}\) jedną z baz jest \(\displaystyle{ B _{3}=[1,1,1,1], \ \ dimU _{3}=1.}\)
Bazy sum.
\(\displaystyle{ U _{1}+U _{2}}\) Badam niezależność liniową wektorów ze zbioru \(\displaystyle{ B ^{'} _{1}={B _{1}} \cup \{a\}}\) Jeśli wektory są liniowo niezalężne, to ten zbiór jest bazą sumy i \(\displaystyle{ dim(U _{1}+U _{2})=4.}\) i badane wektory są bazą sumy; jesli nie to do wektorów z \(\displaystyle{ B _{1}}\) dołączam wektor b i jak poprzednio. Jesli \(\displaystyle{ B _{1} \cup\{b\}}\) są liniowo niezależne, to tworzą bazę przestrzeni o wymiarze 4 (a więc \(\displaystyle{ R ^{4}}\) ) Jeśli i w tym przypadku wektory są liniowo zależne, to bazą jest \(\displaystyle{ B _{1}, \ i \ dim(U _{1}+U _{2})=3.}\)
Bardziej "podejrzany" jest b, dołączam go do wspomnianych wyżej i liczę wyznacznik. Excel "powiedział", że jest równy -10. wektory \(\displaystyle{ B _{1} \cup \{b\}}\) są bazą sumy.
Z powyższego i twierdzenia
\(\displaystyle{ dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)}\)
wynika, że \(\displaystyle{ dim(U _{1} \cap U _{2})=1}\) i będę musiał ten ilooczyn wyznaczyć, co uczynię za około 2 godziny. (Nie bardzo mi się chce i mam nadzieję, że może ktoś w międzyczasie to zrobi).
[ Dodano: 15 Lutego 2008, 20:38 ]
"Jadę' z iloczynem. \(\displaystyle{ U _{1} \cap U _{2} .}\)
\(\displaystyle{ x \in U _{1} \cap U _{2} \Leftrightarrow (x \in U _{1} \wedge x \in U _{2} ).}\) Stąd dla dowolnych rzeczywistych a, b, c, d, f zachodzi równość
\(\displaystyle{ a\left[\begin{array}{c}2\\1\\-1\\1\end{array}\right]+b \left[\begin{array}{c}3\\0\\1\\-1\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}4\\-1\\1\\-3\end{array}\right]=d\left[\begin{array}{c}1\\-1\\2\\-2\end{array}\right]+f\left[\begin{array}{c}4\\0\\0\\-3\end{array}\right]}\),
porównując współrzędne, dostaję układ czterech równań z pięcioma niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a=-d, \ \ b=d, \ \ c=0, \ \ d \in R, \ \ f=0.}\)
Stąd \(\displaystyle{ U _{1} \cap U _{2}=\{[-d, \ \ d, \ \ 0, \ \ d, \ \ 0], \ \ d \in R\}.}\)
z bazą np. \(\displaystyle{ [-1, 1,0, 1, 0].}\)
Reszta "na to samo kopyto".
-1,1-3)\}. \ \ dimU _{1}=3.}\)
Analogicznie z przestrzenią \(\displaystyle{ U _{2}, \ \ B _{2}=\{a=(1,-1,2,-2), \ \ b=(4,0,0,-3)\}, \ \ dimU _{2}=2.}\)
W \(\displaystyle{ B _{3}}\) jedną z baz jest \(\displaystyle{ B _{3}=[1,1,1,1], \ \ dimU _{3}=1.}\)
Bazy sum.
\(\displaystyle{ U _{1}+U _{2}}\) Badam niezależność liniową wektorów ze zbioru \(\displaystyle{ B ^{'} _{1}={B _{1}} \cup \{a\}}\) Jeśli wektory są liniowo niezalężne, to ten zbiór jest bazą sumy i \(\displaystyle{ dim(U _{1}+U _{2})=4.}\) i badane wektory są bazą sumy; jesli nie to do wektorów z \(\displaystyle{ B _{1}}\) dołączam wektor b i jak poprzednio. Jesli \(\displaystyle{ B _{1} \cup\{b\}}\) są liniowo niezależne, to tworzą bazę przestrzeni o wymiarze 4 (a więc \(\displaystyle{ R ^{4}}\) ) Jeśli i w tym przypadku wektory są liniowo zależne, to bazą jest \(\displaystyle{ B _{1}, \ i \ dim(U _{1}+U _{2})=3.}\)
Bardziej "podejrzany" jest b, dołączam go do wspomnianych wyżej i liczę wyznacznik. Excel "powiedział", że jest równy -10. wektory \(\displaystyle{ B _{1} \cup \{b\}}\) są bazą sumy.
Z powyższego i twierdzenia
\(\displaystyle{ dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)}\)
wynika, że \(\displaystyle{ dim(U _{1} \cap U _{2})=1}\) i będę musiał ten ilooczyn wyznaczyć, co uczynię za około 2 godziny. (Nie bardzo mi się chce i mam nadzieję, że może ktoś w międzyczasie to zrobi).
[ Dodano: 15 Lutego 2008, 20:38 ]
"Jadę' z iloczynem. \(\displaystyle{ U _{1} \cap U _{2} .}\)
\(\displaystyle{ x \in U _{1} \cap U _{2} \Leftrightarrow (x \in U _{1} \wedge x \in U _{2} ).}\) Stąd dla dowolnych rzeczywistych a, b, c, d, f zachodzi równość
\(\displaystyle{ a\left[\begin{array}{c}2\\1\\-1\\1\end{array}\right]+b \left[\begin{array}{c}3\\0\\1\\-1\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}4\\-1\\1\\-3\end{array}\right]=d\left[\begin{array}{c}1\\-1\\2\\-2\end{array}\right]+f\left[\begin{array}{c}4\\0\\0\\-3\end{array}\right]}\),
porównując współrzędne, dostaję układ czterech równań z pięcioma niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a=-d, \ \ b=d, \ \ c=0, \ \ d \in R, \ \ f=0.}\)
Stąd \(\displaystyle{ U _{1} \cap U _{2}=\{[-d, \ \ d, \ \ 0, \ \ d, \ \ 0], \ \ d \in R\}.}\)
z bazą np. \(\displaystyle{ [-1, 1,0, 1, 0].}\)
Reszta "na to samo kopyto".