ukladzik
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 20 sty 2008, o 18:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stalowa Wola
- Podziękował: 6 razy
ukladzik
dla jakiego prametru m uklad jest clamerowki
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} mx _{1} +x _{2}+x _{3} =1\\x _{1}+x _{2} -x _{3} =m\\x _{1} -x _{2}+mx _{3}=1 \end{array}}\)
prosze o rozwiaznie krok po kroku
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} mx _{1} +x _{2}+x _{3} =1\\x _{1}+x _{2} -x _{3} =m\\x _{1} -x _{2}+mx _{3}=1 \end{array}}\)
prosze o rozwiaznie krok po kroku
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 14:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jelenia Góra
- Pomógł: 2 razy
ukladzik
nie wiem o co biega - ale mogę powiedzieć kiedy układ będzie niesprzeczny na podstawie tw. Kroneckera-Capelliego
tj.
wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
współczynników tego układu jest równy rzędowi jego macierzy
rozszerzonej.
gdzie macierz współczynników:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}m&1&1\\1&1&-1\\1&-1&m\end{array}\right]}\)
macierz rozszerzona
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}m&1&1&1\\1&1&-1&m\\1&-1&m&1\end{array}\right]}\)
a rząd macierzy liczy się tak - (oczywiście można wyznaczyć wymiar przestrzeni rozpiętej na kolumnach/wierszach, można poszukać nieznikającego minora, ale chyba najskuteczniej w tym wypadku...) - starasz się sprowadzić macierz do postaci
A 0 0 ... 0
0 B 0 ... 0
0 0 C ... 0
... ... ...
0 0 0 ... 0
wymiar będzie równy ilości różnych od zera elemntów stojących na diagonali w takiej macierzy
no to zaczynamy...
w m. współczynników proponuję
- do wiersz 1 dodać wiersz 3
- do kolumny 1 dodać kolumnę 2
- od kolumny 3 odjąć kolumnę 1
- od wiersza 2 odjąć wiersz 1 pomnożony przez 2/(m+1)
- do wiersza 3 dodać wiersz 2
- do wiersza 2 dodać wiersz 3 pomnożony przez 3/(m-3)
i mamy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}m+1&0&0\\0&1&0\\0&0&m-3\end{array}\right]}\)
analogicznie dla macierzy rozszerzonej
i porównujesz dla jakiego m ilość nie znikających na diagonali elementów będzie taka sama w obu przypadkach
tj.
wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
współczynników tego układu jest równy rzędowi jego macierzy
rozszerzonej.
gdzie macierz współczynników:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}m&1&1\\1&1&-1\\1&-1&m\end{array}\right]}\)
macierz rozszerzona
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}m&1&1&1\\1&1&-1&m\\1&-1&m&1\end{array}\right]}\)
a rząd macierzy liczy się tak - (oczywiście można wyznaczyć wymiar przestrzeni rozpiętej na kolumnach/wierszach, można poszukać nieznikającego minora, ale chyba najskuteczniej w tym wypadku...) - starasz się sprowadzić macierz do postaci
A 0 0 ... 0
0 B 0 ... 0
0 0 C ... 0
... ... ...
0 0 0 ... 0
wymiar będzie równy ilości różnych od zera elemntów stojących na diagonali w takiej macierzy
no to zaczynamy...
w m. współczynników proponuję
- do wiersz 1 dodać wiersz 3
- do kolumny 1 dodać kolumnę 2
- od kolumny 3 odjąć kolumnę 1
- od wiersza 2 odjąć wiersz 1 pomnożony przez 2/(m+1)
- do wiersza 3 dodać wiersz 2
- do wiersza 2 dodać wiersz 3 pomnożony przez 3/(m-3)
i mamy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}m+1&0&0\\0&1&0\\0&0&m-3\end{array}\right]}\)
analogicznie dla macierzy rozszerzonej
i porównujesz dla jakiego m ilość nie znikających na diagonali elementów będzie taka sama w obu przypadkach
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 20 sty 2008, o 18:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stalowa Wola
- Podziękował: 6 razy
ukladzik
ty sluchaj a musze liczyc maciesz rozszezona bo ja zroilem tak doszedlem do macierzy współczynników i policzylem wyznacznik wyszedl
\(\displaystyle{ m^{2}-2m-3}\)
dalej policzylem pierwsiatki i tez wyszly
m=-1 lub m= 3
czy jak tak policze to bedzie zle ??
\(\displaystyle{ m^{2}-2m-3}\)
dalej policzylem pierwsiatki i tez wyszly
m=-1 lub m= 3
czy jak tak policze to bedzie zle ??
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
ukladzik
Nie "clamerowski", tylko cramerowski jeśli już, nie wiem tylko co to miałoby znaczyć (że ma dokładnie jedno rozwiązanie?). A rozwiązywanie układu równań z macierzą kwadratową przy pomocy wzorów Cramera jest jak najbardziej naturalnym sposobem, więc nie wiem czemu by to odradzać.
Wyznacznik został policzony dobrze, stąd wniosek, że dla \(\displaystyle{ m \{-1,3\}}\) układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla tych dwóch liczb należy sprawdzić osobno - dla obu wychodzi układ sprzeczny.
Q.
Wyznacznik został policzony dobrze, stąd wniosek, że dla \(\displaystyle{ m \{-1,3\}}\) układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla tych dwóch liczb należy sprawdzić osobno - dla obu wychodzi układ sprzeczny.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 14:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jelenia Góra
- Pomógł: 2 razy
ukladzik
hmm...
ja zasugerowałem sprawdzić czy układ nie jest sprzeczny - czyli czy ma w ogóle jakieś rozwiązania - zależnie od m
i tyle chciałem powiedzieć - bo co to znaczy, że układ jest cramerowski - tego nie ustaliliśmy, więc być może chodzi tylko o niesprzeczność i możliwość rozwiązania wzorami Cramera - niekoniecznie o samo rozwiązanie - i ta interpretacja jakoś wydaje mi się właściwa - bo chodzi tutaj o jakąś cechę samego układu - a nie jego rozwiązań
ale - ja myślę w ten sposób - a niezwykle często jestem w błędzie, więc...
ja zasugerowałem sprawdzić czy układ nie jest sprzeczny - czyli czy ma w ogóle jakieś rozwiązania - zależnie od m
i tyle chciałem powiedzieć - bo co to znaczy, że układ jest cramerowski - tego nie ustaliliśmy, więc być może chodzi tylko o niesprzeczność i możliwość rozwiązania wzorami Cramera - niekoniecznie o samo rozwiązanie - i ta interpretacja jakoś wydaje mi się właściwa - bo chodzi tutaj o jakąś cechę samego układu - a nie jego rozwiązań
ale - ja myślę w ten sposób - a niezwykle często jestem w błędzie, więc...
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
ukladzik
No i dokładnie to zostaje zrobione przy badaniu wyznacznika macierzy. Tam gdzie ów wyznacznik jest niezerowy jest dokładnie jedno rozwiązanie, a tam gdzie się zeruje sprawdzamy ręcznie, że układ jest sprzeczny (choć teoretycznie mógłby mieć wtedy w którymś wypadku także nieskończenie wiele rozwiązań).clossius pisze:ja zasugerowałem sprawdzić czy układ nie jest sprzeczny - czyli czy ma w ogóle jakieś rozwiązania - zależnie od m
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
ukladzik
To już ustalono, najpóźniej w ubiegłym wieku i napisane jest w większości książek o układach liniowych: układ oznaczony n równań liniowych z n niewiadomymi; oznaczony, czyli jego wyznacznik główny jest niezerowy. W innych przypadkach taki układ nie jest układen równań Cramera i wtedy - jak zauważył Kolega Qń - może być sprzeczny albo nieoznaczony.clossius pisze:bo co to znaczy, że układ jest cramerowsk
Odkrycie wzorów Cramera (miał na imię Gabriel) przypisuje się Colinowi Maclaurin'owi. Coż był XVIII wiek i nie działało (chyba?) prawo autorskie.