rzut wektora na podprzestrzen i skladowa ortogonalna

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
prokicki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 11 sie 2004, o 17:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot

rzut wektora na podprzestrzen i skladowa ortogonalna

Post autor: prokicki »

Treść zadania:

Wyznaczyć rzut wektora \(\displaystyle{ x = (4, -1, -3, 4)}\) na podprzestrzeń
\(\displaystyle{ L = lin{ (1,1,1,1),(1,2,3,-1),(1,0,0,3)}}\)
wyznaczyć również składową \(\displaystyle{ x}\) ortogonalną do \(\displaystyle{ L}\).

Rozwiąznie:
\(\displaystyle{ x=(4,-1,-3,4)}\)
Piszemy \(\displaystyle{ x}\) w bazie \(\displaystyle{ (u_{1}, u_{2}, u_{3})}\)
gdzie
\(\displaystyle{ u_{1}=(1,1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ u_{2}=(1,2,3,-1}}\)
\(\displaystyle{ u_{3}=(1,0,0,3}}\)

\(\displaystyle{ x=\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}}\) to plaszczyzna
iRzut \(\displaystyle{ x=\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}}\)
Składowa ortogonalna \(\displaystyle{ x=\alpha_{3}u_{3}}\)

No i teraz mam klopot, nie wiem czy tutaj chodzi o to abym najpierw wektory
\(\displaystyle{ u_{1}, u_{2}}\)oraz\(\displaystyle{ u_{3}}\)
zortogonalizował, a następnie wedlug wzoru Rzut \(\displaystyle{ x=\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}}\) wyliczył
rzut wektora, i to samo z składową ortogonalną czy jak?
Jeżeli tak to co ja mam zrobić z wektorem
\(\displaystyle{ x = (4, -1, -3, 4)}\)
ktorego znamy z tresci zadania, po cos został podany.
Prosiłbym o bardzo dokladne wskazówki, potrzebne jest naprawdę na gwałt,
myśle ze to ostatnie moje pytanie w przeciągu najbliżysch 8 miesięcy.

Pozdrawiam serdecznie.
ODPOWIEDZ