Mam problem z udododnieniem kilku rzeczy. (jest to bardzo pilne, we wtorek mam kolokwium)
1. Wykazac ze forma dwuliniowa f(x,y)= α x1y1 + β x1y2 + β x2y1 + γ x2y2 definiuje iloczyn
skalarny w R� α >0 i α γ > β �
ja to zrobilem tak.
Forma defniuje il . skalarny gdy jest symetrzyczna i dodatnia wiec, aby byla dodatnia
to W1 > 0 i W2>0,
α > 0 wiec 1 warunek spelniony
w2 > 0 => α γ - β� > 0 α γ > β� cnd ,
tak mzoe byc?
2. wykazac ze jezeli (.,.)1 i (.,.)2 sa dwoma roznymi iloczynami skalarnymi to (.,.)1 + (.,.)2 tez jest iloczynem skalarnym
ja bym to zrobil tak (choc uwazam to za bezsens - jest to oczywiste
[ierwszy iloczyn
[ α β ]
[ β γ ]
drugi
[ αq βq ]
[ βq γq ]
skoro α > 0 i α 2 >0 to α + α 2 >0
pierwsza czesc rzekomo udowodniona
α γ > β�
α 2γ2 > β2�
to (α +α 2)( γ +γ 2)> β�+ β2�
cnd, choc to bezsens jak juz pisalem
3. wykazac w przestrzeni euklidesowej
(a)
X + Y prostopadle do X-Y => ||X||=||Y||
(b)
||X+Y||=||X-Y||=> X jest prostopadle do Y
tu nie mam pomyslu.
4.Wykazac ze jezeli wektor x przestrzeni euklidesowej V jest ortogonalny do kazdego z wektorow
y1 ...yn tej przestrzeni to jest on rowniez ortogonalny do dowolnej kombinacji liniowej tych wektorow
V-przestrzen euklidesowa
xeV y1..yn e V
=0 .....=0
ale jak dalej nie wiem jak pokazac. ede szalenei wdzieczny za pomoc.