Znajdź odległości prostych

[pancor]

Znajdź odległości prostych \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\) opisanych równaniami
\(\displaystyle{ l_{1}: x=t+1}\)\(\displaystyle{ y=t+1}\)\(\displaystyle{ z=t+1}\)\(\displaystyle{ t R}\)
\(\displaystyle{ l_{2}: x=2s}\)\(\displaystyle{ y=s}\)\(\displaystyle{ z=s+1}\)\(\displaystyle{ s R}\)

[soku11]

\(\displaystyle{ \vec{l_1}=[1,1,1]\\
\vec{l_2}=[2,1,1]\\}\)

Szukasz poprzez iloczyn wektorowy wektora prostopadlego do obu tych wektorow:
\(\displaystyle{ \vec{l_1}\times\vec{l_2}=...=[0,1,-1]}\)

Teraz dobieramy dowolny punkt A prostej \(\displaystyle{ l_1}\) tworzac tym samym prosta k prostopadla do obu danych prostych i przecinajaca prosta \(\displaystyle{ l_1}\) w punkcie A:
\(\displaystyle{ A=(1,1,1)\\
k:\begin{cases} x=1\\y=1+r\\z=1-r\end{cases}\ \ r\in\mathbb{R}\\}\)

Szukamy przeciecia prostej \(\displaystyle{ l_2}\) i k (punkt B odpowiadajacy A):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2s=1\\s=1+r\\s+1=1-r\end{cases}\\
s=\frac{1}{2}\\
r=-s=-\frac{1}{2}\\
B=(1,\frac{1}{2},\frac{3}{2})}\)

Odleglosc prostych do dlugosc wektora AB, czyli:
\(\displaystyle{ |\vec{AB}|=\sqrt{(1-1)^2+\left(\frac{1}{2}-1\right)^2+
ft(\frac{3}{2}-1\right)^2}=
\sqrt{0+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

POZDRO