Baza przestrzeni

[mateusz3]

Dane są wektory \(\displaystyle{ w_{1}=[1,4,5,0,1],w_{2}=[3,0,4,1,1],w_{3}=[0,12,11,-1,2]}\) przestrzeni pięciowymiarowej V.

Jak sprawdzić czy są bazą przestrzeni V?
Jak sprawdzić czy można ją ewentualnie uzupełnić do bazy przestrzeni V?
Jak sprawdzić czy te wektoy rozspinają przestrzeń jednowymiarową i dwuwymiarową?

[Qń]

Jak sprawdzić czy są bazą przestrzeni V?

W ogóle nie trzeba sprawdzać - każda baza przestrzeni 5-wymiarowej ma 5 elementów, a ten układ wektorów nie. Gdybyśmy zaś mieli układ 5-elementowy, to wystarczyłoby sprawdzić czy jest liniowo niezależny.

Jak sprawdzić czy można ją ewentualnie uzupełnić do bazy przestrzeni V?

Jeśli układ byłby liniowo niezależny, to zawsze można go uzupełnić do bazy. Ten jednak nie jest (bo \(\displaystyle{ 3w_1 - w_2 = w_3}\)), więc czym byśmy go nie uzupełniali, nie dostaniemy układu liniowo niezależnego, jakim musi być baza.

Jak sprawdzić czy te wektoy rozspinają przestrzeń jednowymiarową i dwuwymiarową?

Rozpinają bazę takiego wymiaru, jaka jest największa liczba wektorów niezależnych, czyli 2.

Pozdrawiam.
Qń.

[mariolka0303]

W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{(2)}[x] (R)}\) dane są wektory \(\displaystyle{ w_{1}(x)= x^{2}+1 , w_{2}(x)=x-2}\) oraz wektor \(\displaystyle{ w(x)=2 x^{2}+x-3}\). Uzupełnic układ do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R^{(2)}[x] (R)}\).

Jak mam uzupełnić ten układ do bazy przestrzeni?