pytania o wymiary przestrzeni

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
mariusz198787
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 25 lut 2007, o 14:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

pytania o wymiary przestrzeni

Post autor: mariusz198787 »

czy ktos moglby mi napisac ile wynosi wymiar przestrzeni V ,W ,czesc wspolna(i tak mniej wiecej wytlumaczyc jak to sie robi)


\(\displaystyle{ V=\{w\in R_3[x]:w(i)=0\}$ $W=\{w\in R_3[x]: w(1)=w(-1)\}}\)
\(\displaystyle{ V=\{w\in R_3[x]:w(0)\geq 0\}$ $W=\{w\in R_3[x]: w(x)=-w(-x)\}}\)
jasny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

pytania o wymiary przestrzeni

Post autor: jasny »

Np. 1)
\(\displaystyle{ V=\{w\in\mathbb{R}_3[x]:\,w(i)=0\}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{R}_3[x]}\) oznacza zbiór wielomianów stopnia co najwyżej trzeciego, weźmy \(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\).
Ma zachodzić \(\displaystyle{ w(i)=0}\), zatem wstawiamy nasz wielomian do warunku:
\(\displaystyle{ ai^3+bi^2+ci+d=0}\)
\(\displaystyle{ -ai-b+ci+d=0}\)
\(\displaystyle{ -a+c=0\,\wedge\,-b+d=0}\)
\(\displaystyle{ a=c\,\wedge\,b=d}\)
Podając rozwiązanie uzależniamy jedne zmienne od drugich: \(\displaystyle{ a=\alpha,\,b=\beta,\,c=\alpha,\,d=\beta}\)
\(\displaystyle{ (a,b,c,d)=\alpha(1,0,1,0)+\beta(0,1,0,1)}\)
Każdy wektor tej przestrzeni jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ (1,0,1,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0,1)}\), te dwa są liniowo niezależne, stanowią więc bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), która w związku z tym jest dwuwymiarowa.



Dla przestrzeni \(\displaystyle{ W=\{w\in\mathbb{R}_3[x]:\,w(1)=w(-1)\}}\)
\(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ a+b+c+d=-a+b-c+d}\)
\(\displaystyle{ c=-a}\)

\(\displaystyle{ (a,b,c,d)=(\alpha,\beta,-\alpha,\gamma)=\alpha(1,0,-1,0)+\beta(0,1,0,0)+\gamma(0,0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ \mathrm{dim}W=3}\)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

pytania o wymiary przestrzeni

Post autor: »

W pierwszym \(\displaystyle{ V}\) można było też wykorzystać fakt, że chodzi o wielomiany podzielne przez \(\displaystyle{ (x^2+1)}\), czyli wielomiany postaci:
\(\displaystyle{ (x^2+1)(ax+b)=a(x^3+x) + b (x^2+1)}\)

Drugie \(\displaystyle{ V}\) nie jest przestrzenią liniową, więc nie można mówić o wymiarze, natomiast w drugim \(\displaystyle{ W}\) chodzi o wielomiany będące funkcjami nieparzystymi, czyli o wielomiany postaci \(\displaystyle{ ax^3+cx}\) - wymiar przestrzeni którą tworzą to oczywiście \(\displaystyle{ 2}\).

Pozdrawiam.
Qń.
ODPOWIEDZ