wzór przekształcenia liniowego

[Xizor]

Znaleźć przy użyciu macierzy zmiany bazy wzór na przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \Phi: \mathbb{R}^{3} \mathbb{R}^{3}}\) jeśli wiadomo, że:

\(\displaystyle{ \Phi((1,0,0)) = (1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ \Phi((0,1,1)) = (1,-1,2)}\)
\(\displaystyle{ \Phi((1,0,1)) = (1,1,2)}\)

Byłbym wdzięczny za wskazanie metody na wyszukiwanie wzoru przekształcenia. Oczywiście znaleźć ten wzór w normalny sposób jest łatwo, ale intryguje mnie sformułowanie "przy użyciu macierzy zmiany bazy".

[sztuczne zęby]

Zbuduj sobie macierze z wektorów przed przekształceniem i po przekształceniu.
Oznaczmy macierz przekształcenia jako X.
Wtedy \(\displaystyle{ X M(v)=M(\Phi(v) ) \\
M(v)^TX^T=M(\Phi(v) )^T}\)
Co sprowadza się do rozwiązania równania.
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&1&1\\0&1&1&1&-1&2\\1&0&1&1&1&2\end{array}\right|}\)
No i otrzymany wynik należy transponować.

[Xizor]

\(\displaystyle{ M(v) = ft[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\0&1&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ M(\Phi(v)) = ft[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&-1&1\\1&2&2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ M(v) * X = M(\Phi(v)) X = M(\Phi(v)) * M^{-1}(v)}\)

\(\displaystyle{ M^{-1}(v) = ft[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\0&1&0\\0&-1&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ X = ft[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&-1&1\\1&2&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\0&1&0\\0&-1&1\end{array}\right] = ft[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&-1&0\\1&1&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \Phi((x,y,z)) = x(1,1,1) + y(1,-1,1) + z(0,0,1) = (x+y, x-y, x+y+z)}\)

Czyli zgadza się z moimi wcześniejszymi obliczeniami "niemacierzowymi".
Dziękuję za pomoc i pozdrawiam.

[gordon]

\(\displaystyle{ M(v) * X = M(\Phi(v)) \Rightarrow X = M(\Phi(v)) * M^{-1}(v)}\)

czesc. mam pytanie. czy ten wzor nie powinien byc

\(\displaystyle{ M(v) * X = M(\Phi(v)) \Rightarrow X = M^{-1}(v) * M(\Phi(v))}\)

[ Dodano: 10 Września 2008, 02:28 ]
up. jesli wzor jest dobrze to czy ktos moglby go jakos objasnic skad sie wzial? aktualnie jest mi on 'troszke' potrzebny bylbym bardzo wdzieczny!