wyznacznik

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
niezapominajka1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 29 sty 2008, o 21:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

wyznacznik

Post autor: niezapominajka1 »

\(\displaystyle{ \left [\begin{array}{ccc}-1& 4& 3\ \\ -3& 1& 0 \\ 2& 5& -2 \end{array}\right]}\)

mam napisać rozwinięcie Laplace'a wg trzeciej kolumny
Nie wiem o co chodzi w tym.. to rozwinięcie jest dla mnie niezrozumiałe
Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

wyznacznik

Post autor: Hania_87 »

\(\displaystyle{ (-1) ^ {3+1} * 3 * ft [\begin{array}{cc} -3 & 1 \\ 2 & 5 end {array} \right ] + (-1) ^{3+3} *(-2) * ft [\begin{array}{cc} -1& 4 \\ -3& 1 end {array} \right]}\)
=3*(-15-2)-1*(-1+12)=3*(-17)-2*11=39
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

wyznacznik

Post autor: JankoS »

niezapominajka1 pisze:\(\displaystyle{ \left [\begin{array}{ccc}-1& 4& 3\ \\ -3& 1& 0 \\ 2& 5& -2 \end{array}\right]}\)

mam napisać rozwinięcie Laplace'a wg trzeciej kolumny
Nie wiem o co chodzi w tym.. to rozwinięcie jest dla mnie niezrozumiałe
Koleżance Hani raz się wpisło -1 zamiast -2, a później żle odjęło, więc może napiszę jak ma być.
\(\displaystyle{ \left |\begin{array}{ccc}-1& 4& 3\ \\ -3& 1& 0 \\ 2& 5& -2 \end{array}\right|=
3 \cdot \left |\begin{array}{cc}-3& 1& \\2& 5 \end{array}\right|-2 \cdot \left |\begin{array}{cc}-1& 4& \\-3& 1 \end{array}\right|=3 \cdot (-15-2)-2 \cdot (-1+12)=\\=
-51-22=-73.}\)

Jak widać stosowanie rozwinięcia Laplace'a-Cauchy'ego pozwala na obliczenie wartości wyznacznika za pomocą wyznaczników o stopień niższych. Można napisać ogólny wzór na rozwinięcie według i-tego wiersza
\(\displaystyle{ |A| = \left |\begin{array}{cccc}a _{1,1} & a _{1,2} &...&a _{1,n} \ \\ a _{2,1} & _{2,2} &... &a _{2,n} \\ ...&...&...&...\\a _{m,1}&a _{m,2}&...&a _{m,n} \end{array}\right|=(-1) ^{i+1}a _{i,1} \cdot |A _{i,1}|+(-1) ^{i+2}a _{i,2} \cdot |A _{i,2}| + ... \\+(-1) ^{i+n}a _{i,n} \cdot |A _{i,n}|,}\)
gdzie \(\displaystyle{ |A _{i,k} |}\) wyznacznik otrzymany z \(\displaystyle{ |A|}\) przez skreślenie i-tego wiersza i k-tej kolumny.
Tak samo można rozwinąć według dowolnej kolumny. Wybieramy wiersz (kolumnę), gdzie jest najwięcej zer.
Oczywiście otrzymane wyznaczniki (o stopień niższe od stopnia \(\displaystyle{ |A|}\)) też możemy rozwijać aż do skutku, czyli do otrzymania wyznaczników pierwszego stopnia. Tego ostatniego się zazwyczaj nie robi i poprzestaje na wyznacznikach drugiego lub trzeciego stopnia.
ODPOWIEDZ