Baza złożona z wektorów własnych

sebb · Post autor: **sebb** » 29 sty 2008, o 18:04

Zad.1
Czy odwzorowanie liniowe f: R^3->R^3 dane poprzez macierz:
|3 0 2|
|0 -1 0|
|1 0 4|
posiada bazę złożoną z wektorów własnych? Jeśli tak to podac tą macierz, jeśli nie uzasadnic.

Niestety potrafie tylko dojsc do momentu ustalenia wartosci wlasnych: -1,2,5

Zad. 2
Znalezc baze przesteni
V={(x,y,z,t) ; 2x - y + 3z + t = 0, x + 2y + z - t = 0, 3x - 4y + 3z + 5t = 0 }
i uzasadnic, ze jest to baza.

Z góry dziekuję za pomoc.

sztuczne zęby · Post autor: **sztuczne zęby** » 29 sty 2008, o 20:06

Ad. 1
Jeżeli odwzorowanie ma wymiar n i znajdziesz n różnych wartości własnych to masz pewność, że posiada bazę złożoną z wektorów własnych.

Ad. 2
A tu nie bardzo rozumiem. Należy znaleźć bazę rozwiązań takiego równania, czy jakiegoś przekształcenia \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4 \mathbb{R}^3}\) ?

sebb · Post autor: **sebb** » 30 sty 2008, o 08:54

Ad. 2
Znaleźc baze przestrzeni R^{4}... ale jak na moje oko tez czegos brakuje.

Qń · Post autor: Qń » 30 sty 2008, o 09:18

Niczego nie brakuje - mamy znaleźć bazę podprzestrzeni składającej się z wektorów, których współrzędne spełniają podane zależności. Lub co na jedno wychodzi: bazę przestrzeni rozwiązań układu równań składającego się z tych zależności.

A przy okazji mam prośbę/sugestię, by wyrażenia matematyczne w treści zadań zapisywać przy użyciu LaTeX-a.

Q.

sebb · Post autor: **sebb** » 1 lut 2008, o 18:28

Odnośnie zad. 2 uzyskałem 2 wektory składające się na bazę:

B= { (1,-3,0,1) i (0,-4,1,1) }

mógłby ktoś sprawdzic moj wynik?

tangerine11 · Post autor: **tangerine11** » 9 maja 2017, o 23:59

sztuczne zęby pisze:Ad. 1
Jeżeli odwzorowanie ma wymiar n i znajdziesz n różnych wartości własnych to masz pewność, że posiada bazę złożoną z wektorów własnych.

A jeżeli ma mniej niż n? Np jesteśmy w liczbach rzeczywistych i wielomian 4 stopnia ma tylko 2 pierwiastki? To wtedy nie posiada bazy, czy nie wiemy - musimy dodatkowo coś sprawdzać?