Wektory-baza przestrzeni

[cytrynka]

Mam do rozwiązania zadanie: sprawdź czy układ wektorów [1,2,-1,-2], [2,3,0,-1], [1,2,1,3], [1,3,-1,0] jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\). Jak się do tego zabrać?

[Rogal]

Wystarczy sprawdzić, czy są liniowo niezależne. Jeśli są, to ponieważ wymiar przestrzeni jest skończony i równy ilości wektorów, to wektory te generują całą przestrzeń, więc są bazą.

[cytrynka]

To wiem, ale jak to sprawdzić. Dla trzech potrafię, ale gdy zaczęłam rozwiązywać układ dla czterech to się zagubiłam. Jest jeszcze jakiś sposób?

[soku11]

\(\displaystyle{ \begin{cases}
a+2b+c+d=0\\
2a+3b+2c+3d=0\\
-a+c-d=0\\
-2a-b+3c=0\end{cases}}\)

Co robisz np macierza:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}
1&2&1&1\\
2&3&2&3\\
-1&0&1&-1\\
-2&-1&3&0\end{array}
\right]}\)

Gdy rzad tej macierzy wyjdzie 4 - sa niezalezne. Jesli bedzie mniejszy - ktorys wiersz jest proporcjonalny POZDRO