witam mam tutaj do rozwiązania zadania:
1) Dany jest wielomian \(\displaystyle{ f(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2}\). Wykorzystując Twierdzenia Sturma określić liczbę pierwiastków rzeczywistych, liczbę pierwiastków dodatnich i liczbę pierwiastków zawartych w przedziale \(\displaystyle{ (0,3)}\) wielomianu \(\displaystyle{ f(x)}\).
Wiem tutaj że trzeba wyznaczyć najpierw pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) a potem podzielić funkcję przez jej pochodną. Reszta która wyjdzie to kolejna funkcja. Dzielimy pochodna przez tę resztę i otrzymujemy kolejną resztę. Teraz resztę z pierwszego dzielenia dzielimy przez resztę z drugiego dzielenia. I wykonujemy takie dzielenia reszt tak długo aż otrzymamy resze która jest już bez x. Potem wszystko zapisujemy w tabelce. I moje pytanie jak czytać tę tabelki jak wskazać ile jest tych pierwiastków funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)??
2) Dany jest pierścień \(\displaystyle{ F=\{a+b\alpha: a,b\in Z_{13},\alpha^{2}+5=0\}}\)
a) Udowodnić krótko że \(\displaystyle{ F}\) jest ciałem.
b) Udowodnić, że w grupie multiplikatywnej ciała \(\displaystyle{ F}\) istnieje element rzędu 28. Podać przykład takiego elementu.
3) Kwadrat podzielono na 16 różnych kwadratów. Każdy z mniejszych kwadratów malujemy jednym z trzech kolorów. Ile jest takich pokolorowań z dokładnością do izometrii kwadratu?? (To znaczy, że utożsamiamy dwa pokolorowania jeśli można jedno z drugiego otrzymać przez izometrię).
4) Dany jest zbiór \(\displaystyle{ G=\{\left[\begin{array}{cc}1-2a&4a\\-a&1+2a\end{array}\right]: a \mathbb{Z}\}}\)
a) Sprawdzić, czy G tworzy grupę względem mnożenia macierzy.
b) Wykazać, że G jest cykliczna.
c) Wykazać, że grupa ta jest izomorficzna z grupą \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).
d) Udowodnić, że \(\displaystyle{ H=\{\left[\begin{array}{cc}1-2a&4a\\-a&1+2a\end{Array}\right]:3\mid a\}}\) jest podgrupą grupy G i wyznaczyć grupę ilorazową G/H.
Jeśli ktoś miałby sposób na rozwiązanie chociaż jednego zadania to proszę o zamieszczenie odpowiedzi lub wskazówek. Za każdą poprawną pomoc lub odpowiedź daję +++