Dla jakiego parametru p wektory są bazą w R3 ?

[bmbk]

Witam, prosilbym o rozwiazanie tego zadania:

Dla jakiego parametru p wektory [1,-p,2], [p,3,-1], [3p,5,-4] są bazą w \(\displaystyle{ R^{3}}\)

Z gory dzieki.

[sztuczne zęby]

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&p&3p\\-p&3&5\\2&-1&-4\end{array}\right| ft|\begin{array}{ccc}1&p&3p\\0&p^2+3&3p^2+5\\0&-2p-1&-6p-4\end{array}\right|
\\ ft|\begin{array}{ccc}1&p&3p\\0&1&\frac{3p^2+5}{p^2+3}\\0&-2p-1&-6p-4\end{array}\right| ft|\begin{array}{ccc}1&p&3p\\0&1&\frac{3p^2+5}{p^2+3}\\0&0&\frac{-(p^2+8p+7)}{p^2+3}\end{array}\right|}\)
No i aby wektory te były bazą w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) muszą być liniowo niezależne, no i musi być ich 3. Aby były niezależne wystarczy aby \(\displaystyle{ \frac{-(p^2+8p+7)}{p^2+3} 0}\)
Czyli \(\displaystyle{ p -7 p -1}\)

[Qń]

Prościej byłoby chyba policzyć wyznacznik tej macierzy.

Pozdrawiam.
Qń.

[sztuczne zęby]

Pewnie tak, ale moi pani wykładowca od algebry jest zwolenniczką minimalizacji stosowania wyznaczników. I już mi zostały takie przyzwyczajenia