Znajdź wymiar i bazę przestrzeni wektorowej

[kawek]

Znajdź wymiar i bazę przestrzeni wektorowej
\(\displaystyle{ V= ft([x,y,z ,t] R^4 : x + y = x - y + t \right)}\)

Za pomoc w rozwiązaniu będę wdzięczny.

[kuch2r]

Rozwiaz uklad rownan:
\(\displaystyle{ x+y=x-y+t \\2y=t\\y=\frac{t}{2}}\)
Zatem rozwiazaniem naszego rownania bedzie czworka w postaci:
\(\displaystyle{ (x,\frac{t}{2},z,t)}\)
Powyzsza czworke mozemy zapisac w postaci kombinacji liniowej:
\(\displaystyle{ (x,0,0,0)+(0,\frac{t}{2},0,t) + (0,0,z,0)=x(1,0,0,0)+t(0,\frac{1}{2},0,1) + z (0,0,1,0)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \dim{V}=3}\) natomiast baze stanowi zbior wektorow \(\displaystyle{ B=\{ (1,0,0,0),(0,\frac{1}{2},0,1),(0,0,1,0)\}}\)