Mam problem, bo nie potrafię rozwiązać zadania. jeżeli ktoś mógłby wytłumaczyć krok po kroku co zrobić, żeby to rozwiązać...
Przedstaw liczbę \(\displaystyle{ (i)^{43}+ (1-i)^{50}}\) w postaci algebraicznej
Liczby zespolone
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Liczby zespolone
\(\displaystyle{ i^{43}=i\cdot i^{42}=i\cdot (i^{2})^{21}=i\cdot (-1)^{21}=-i\\
z=(1-i)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{2}(
cos\frac{3\pi}{4}+isin\frac{3\pi}{4})\\
z^{50}=2^{25}[cos(\frac{3\pi}{4}\cdot 50)+isin(\frac{3\pi}{4}\cdot 50)]}\)
POZDRO
z=(1-i)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{2}(
cos\frac{3\pi}{4}+isin\frac{3\pi}{4})\\
z^{50}=2^{25}[cos(\frac{3\pi}{4}\cdot 50)+isin(\frac{3\pi}{4}\cdot 50)]}\)
POZDRO
-
gajatko
- Użytkownik
- Posty: 135
- Rejestracja: 16 sty 2008, o 20:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 36 razy
Liczby zespolone
Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ \arg (1-i)=-\frac{\pi}{4}\sim\frac{7\pi}{4}}\), co łatwo można zauważyć na rysunku.
Wtedy:
\(\displaystyle{ (1-i)^{50}=\left[\sqrt 2\left(\cos-\frac{\pi}{4}+i\sin-\frac{\pi}{4}\right)\right]^{50}=\\
=2^{25}\left(\cos\frac{50\pi}{4}-i\sin\frac{50\pi}{4}\right)=
2^{25}\left(\cos\frac{\pi}{2}-i\sin\frac{\pi}{2}\right)=-2^{25}i}\)
Czyli w sumie
\(\displaystyle{ (i)^{43}+ (1-i)^{50}=-(2^{25}+1)i}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ (1-i)^{50}=\left[\sqrt 2\left(\cos-\frac{\pi}{4}+i\sin-\frac{\pi}{4}\right)\right]^{50}=\\
=2^{25}\left(\cos\frac{50\pi}{4}-i\sin\frac{50\pi}{4}\right)=
2^{25}\left(\cos\frac{\pi}{2}-i\sin\frac{\pi}{2}\right)=-2^{25}i}\)
Czyli w sumie
\(\displaystyle{ (i)^{43}+ (1-i)^{50}=-(2^{25}+1)i}\)