Witam, mam takie zadanie, które w sumie już zrobiłam, ale chcę się przekonać, czy dobrze, a mianowicie:
Dla a,b \(\displaystyle{ \in}\)R oznaczamy:
\(\displaystyle{ a\oplus b=a+b+1
a\otimes b=a+b+ab}\)
Sprawdzić, czy układ (R,\(\displaystyle{ \oplus \otimes}\)) jest ciałem.
No to ja zrobiłam tak:
a) sprawdziłam czy (\(\displaystyle{ R\oplus}\)) jest grupą abelową (czyli sprawdziłam czy działanie 1) jest łączne, przemienne, czy posiada element neutralny (to jest 0) i czy element odwrotny (tj: -(a+b+1))
Moim zdaniem pierwszy aksjomat ciała został spełniony
b) sprawdziłam czy układ: (\(\displaystyle{ R\otimes}\)) jest półgrupą. Ale, że ciało to in. pierścień przemienny z jedynką, to to działanie musi być równocześnie łączne, przemienne i mieć element neutralny (tj liczba 1 w tym wypadku).
Wg mnie drugi aksjomat został również spełniony
c)Sprawdziłam czy jest zachowane prawo rozdzielności. Zostało zachowane.
Wychodzi na to, że nasz układ jest ciałem. Czy, aby na pewno??? Z góry dziękuje za odpowiedz.
P.S. Przepraszam, że nie piszę tych wszystkich równań, ale było ich trochę dużo.
Zadanie - do sprawdzenia
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Zadanie - do sprawdzenia
I jeszcze kazdy element pierścienia za wyjątkem zera musi być odwracalny.Innymi słowy
\(\displaystyle{ (R,\oplus),(R,\otimes)}\) maja być grupami przemiennymi i \(\displaystyle{ \otimes}\) ma być rozdzielne względem \(\displaystyle{ \oplus.}\)
\(\displaystyle{ (R,\oplus)}\) jest. "Zerem" jest -1, a elementem przeciwnym do a jest -a-2.
W drugim łączność zachodzi, podobnie przemiennośc. Elementem neutralnym względem \(\displaystyle{ \otimes}\) jest liczba 0. Elementem odwrotnym do a jest \(\displaystyle{ -\frac{a}{a+1}.}\) -1jest "zerem" więc wszystko jest w porządku.
Sprawdzę ostatni warunek - rozdzielność.
\(\displaystyle{ a \otimes (b\oplus c)=a+(b\oplus c)+a(b\oplus c)=a+b+c+1+a(b+c+1)=2a+b+c+1+ab+ac,\\(a \otimes b) \oplus (a \otimes c)=(a+b+ab) \oplus (a+c+ac)=a+b+ab+a+c+ac+1=2a+b+c+1+ab+ac.}\)
Rozdzielność \(\displaystyle{ \otimes}\) względem \(\displaystyle{ \oplus}\) zachodzi.
\(\displaystyle{ (R,\oplus),(R,\otimes)}\) maja być grupami przemiennymi i \(\displaystyle{ \otimes}\) ma być rozdzielne względem \(\displaystyle{ \oplus.}\)
\(\displaystyle{ (R,\oplus)}\) jest. "Zerem" jest -1, a elementem przeciwnym do a jest -a-2.
W drugim łączność zachodzi, podobnie przemiennośc. Elementem neutralnym względem \(\displaystyle{ \otimes}\) jest liczba 0. Elementem odwrotnym do a jest \(\displaystyle{ -\frac{a}{a+1}.}\) -1jest "zerem" więc wszystko jest w porządku.
Sprawdzę ostatni warunek - rozdzielność.
\(\displaystyle{ a \otimes (b\oplus c)=a+(b\oplus c)+a(b\oplus c)=a+b+c+1+a(b+c+1)=2a+b+c+1+ab+ac,\\(a \otimes b) \oplus (a \otimes c)=(a+b+ab) \oplus (a+c+ac)=a+b+ab+a+c+ac+1=2a+b+c+1+ab+ac.}\)
Rozdzielność \(\displaystyle{ \otimes}\) względem \(\displaystyle{ \oplus}\) zachodzi.