Wektory liniowo zależne, niezależne.

[aquaz]

Witam.

Jak prostą metodą sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne? Wiem, że trzeba wpisać je w macierz, ale jak i jaki powinien być następny krok? Obliczenie wyznacznika?

Zadanie :
Sprawdzić, czy w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) wektory są liniowo niezależne :
\(\displaystyle{ v=(1, 4, 3), w=(-1, 2, -1), u=(0, 6, 4).}\)

[gajatko]

Wektory są liniowo niezależne gdy,
\(\displaystyle{ c_1v_1+c_2v_2+\cdots c_nv_n=0 c_1=c_2=\cdots =c_n=0}\)
Czyli rozwiązujemy równanie
\(\displaystyle{ c_1v+c_2w+c_3u=0}\)
i jeśli rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ c_1=c_2=c_3=0}\), to wektory są liniowo niezależne.
\(\displaystyle{ c_1(1, 4, 3)+c_2(-1, 2, -1)+c_3(0, 6, 4)=(0,0,0)\\
\begin{cases}
c_1-c_2=0\\
4c_1+2c_2+6c_3=0\\
3c_1-c_2+4c_3=0
\end{cases}}\)
Taki układ równań rozwiązuje się bardzo szybko, szczególnie jeśli rzeczywiście wektory są niezależne.
\(\displaystyle{ c_1=c_2\\
-c_1=c_3\\
c_1=0\\
c_2=c_3=0}\)

[aquaz]

Dzięki.
Sposób dobry, ale gorzej jak trzeba obliczyć 4 wektory przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\). Wtedy już jest mniej ciekawie, a na pewno bardziej czasochłonnie - nie ma jakiegoś innego sposobu aby to obliczyć? Zastosować jakoś macierz?

[Calasilyar]

nie ma jakiegoś innego sposobu aby to obliczyć?

obliczyć ten układ równań wykorzystując wzory Cramera

[JankoS]

Jeśli wektory można "ułożyć" w macierz kwadratową, to można liczyć wyznacznik. Jeśli wektory są liniowo zależne, to wyznacznik wyjdzie 0, w przeciwnym przypadku - różny od zera.
Ale jak już napisałem nie z każdego układu wektorów da się "zrobić" tablicę kwadratową, np z wektorów \(\displaystyle{ e _{1}=(1,0,0), e _{2}=(0,1,0).}\)te akurat są liniowo niezależne.

[sztuczne zęby]

No to wpisujesz kolejne wektory jako kolumny macierzy. I otrzymaną macierz próbujesz sprowadzić do macierzy schodkowej.
I tak np: \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccccc}1&2&1&3&1&1&1\\0&0&3&1&3&1&1\\0&0&0&1&6&1&2\\0&0&0&0&0&9&-2\end{array}\right|}\)
niezależne są np. wektory (które odpowiadają kolejnym kolumną) pierwszy, trzeci czwarty i szósty.

[lukas_7]

Czyli wektory wpisujemy w macierz kolumnami?

I jeszcze takie pytanie. Jeżeli mamy jakiś zbiór wektorów i wiemy, że np. 3 z nich są liniowo zależne to można stwierdzić, że ten zbiór jest liniowo zależny? Czy jest analogicznie jeżeli rozpatruje się wektory liniowo niezależne?

[JankoS]

Czy jest analogicznie jeżeli rozpatruje się wektory liniowo niezależne?

Nie.