Muszę udowodnić, iż wyznacznik podanej niżej macierzy jest dodatni (przy okazji informuję, że jest to tensor bezwładności).
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\int_V(y^2+z^2)dV&-\int_VxydV&-\int_VxzdV
\\-\int_VxydV&\int_V(x^2+z^2)dV&-\int_VyzdV
\\-\int_VxzdV&-\int_VyzdV&\int_V(x^2+y^2)dV
\end{array}\right]>0}\)
Poprzednią cześć problemu, mianowicie udowodnienie, iż wiodący minor główny stopnia 2 jest dodatni rozwiązałem przy pomocy nierówności Schwartza. Może to odrobinkę pomoże.
Wesolutki:-)
Dodatni wyznacznik trudnej macierzy 3x3
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Dodatni wyznacznik trudnej macierzy 3x3
Oznaczmy dla uproszczenia zapisu:
\(\displaystyle{ a= t_Vx^2dV \\
b= t_Vy^2dV \\
c= t_Vz^2dV \\
p = t_VyzdV \\
q = t_VzxdV \\
r = t_VxydV}\)
Jeśli policzymy wyznacznik (np. metodą Sarrusa), to dostaniemy do udowodnienia nierówność:
\(\displaystyle{ \left(a+b \right) ft(b+c \right) ft(c+a \right) - 2pqr - ft(a+b \right)r^2 - ft( b+c\right)p^2 -\left(c+a \right) q^2 qslant 0}\)
Lub równoważnie:
\(\displaystyle{ \left(a+b \right) ft(b+c \right) ft(c+a \right) qslant 2pqr + ft(a+b \right)r^2 + ft( b+c\right)p^2 +\left(c+a \right) q^2}\) (*)
Z nierówności Schwarza wiemy, że:
\(\displaystyle{ ab qslant r^2 \\
bc qslant p^2 \\
ab qslant q^2}\)
Mnożąc te nierówności stronami dostaniemy po spierwiastkowaniu nierówność:
\(\displaystyle{ abc qslant pqr}\)
Mamy więc:
\(\displaystyle{ 2pqr + ft(a+b \right)r^2 + ft( b+c\right)p^2 +\left(c+a \right) q^2 qslant \\
qslant 2abc +\left(a+b \right)ab + ft( b+c\right)bc +\left(c+a \right)ca = \\
= ft(a+b \right) ft(b+c \right) ft(c+a \right)}\)
co kończy dowód, po wykazaliśmy prawdziwość (*).
Pokazaliśmy, że wyznacznik jest nieujemny, jednak przy jakichś rozsądnych założeniach o \(\displaystyle{ V}\) zerem być nie może, czyli musi być dodatni.
Pozdrawiam.
Qń.
\(\displaystyle{ a= t_Vx^2dV \\
b= t_Vy^2dV \\
c= t_Vz^2dV \\
p = t_VyzdV \\
q = t_VzxdV \\
r = t_VxydV}\)
Jeśli policzymy wyznacznik (np. metodą Sarrusa), to dostaniemy do udowodnienia nierówność:
\(\displaystyle{ \left(a+b \right) ft(b+c \right) ft(c+a \right) - 2pqr - ft(a+b \right)r^2 - ft( b+c\right)p^2 -\left(c+a \right) q^2 qslant 0}\)
Lub równoważnie:
\(\displaystyle{ \left(a+b \right) ft(b+c \right) ft(c+a \right) qslant 2pqr + ft(a+b \right)r^2 + ft( b+c\right)p^2 +\left(c+a \right) q^2}\) (*)
Z nierówności Schwarza wiemy, że:
\(\displaystyle{ ab qslant r^2 \\
bc qslant p^2 \\
ab qslant q^2}\)
Mnożąc te nierówności stronami dostaniemy po spierwiastkowaniu nierówność:
\(\displaystyle{ abc qslant pqr}\)
Mamy więc:
\(\displaystyle{ 2pqr + ft(a+b \right)r^2 + ft( b+c\right)p^2 +\left(c+a \right) q^2 qslant \\
qslant 2abc +\left(a+b \right)ab + ft( b+c\right)bc +\left(c+a \right)ca = \\
= ft(a+b \right) ft(b+c \right) ft(c+a \right)}\)
co kończy dowód, po wykazaliśmy prawdziwość (*).
Pokazaliśmy, że wyznacznik jest nieujemny, jednak przy jakichś rozsądnych założeniach o \(\displaystyle{ V}\) zerem być nie może, czyli musi być dodatni.
Pozdrawiam.
Qń.