Przekształcenia izometryczne - opisz/scharakteryzuj

[Kulfon]

Mam 2 zadania:
1. Sprawdź z definicji, ktore z przekształceń sa izometriami a następnie scharakteryzuj te przeksztalcenia izometryczne:
a) P((x,y))=(x+4,y-2)
b) P((x,y))=(-x,y)
c) b) P((x,y))=(x,2y)

Wiadomo, że izometria jest w a) i b). Mam jednak wątpliwości co do drugiej części zadania: "scharakteryzuj te przekształcenia". Co ja mam zrobić? O co chodzi?

2. Przekształcenie P jest określone następująco P((x,y))=((k^2-1)x, y-k), gdzie k jest parametrem.
a) Wyznacz te wartości k, dla których przekształzenie P jest izometrią
b) Dla każdej wyznaczonej w podpunkcie a) wartości opisz przekształcenie izometryczne P

Wiadomo, że izometria bedzie zachowana dla \(\displaystyle{ k_{1} = \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ k_{2} = -\sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ k_{3} = 0}\). No i te same wątpliwości co w zadaniu 1. Co to oznacza: opisz te przekształcenie izometryczne P?

[JankoS]

Zad. 1 prawdopodobnie chodzi o napisanie czy dana izometria jest symetrią (osopwą, środkową), obrotem czy też przesunięciem równoległym (translacją).
I tak pierwsza izometria (pkt. a) jest translacją (przesunięciem równoległym ) o wektor \(\displaystyle{ [4,-2],}\)natomiast izometria z punktu b jest symetrią osiową o osi \(\displaystyle{ OY.}\)
Zad. 2. Proste sprawdzenie dla \(\displaystyle{ k=0}\) pokazuje, że nie jest to izometria. To zero to się wzięło z podnoszenia do parzystej potęgi. Kuedyś taki pierwiastek nazywało się pierwiastkiem obcym. Dla \(\displaystyle{ k= \sqrt{2}}\) jest to translacja o wektor \(\displaystyle{ [0, \sqrt{2}]}\) dla drugiego k - o wektor \(\displaystyle{ [0,- \sqrt{2}]}\)

Bodajże w szkole średniej dowodzi się twierdzenia: Każda izometria jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.
Zakładam, że Kolega zna pojęcie symetrii osiowej, W szkole podstawowej mówi się chyba o lustrzanym odbiciu względem prostej. I ta prosta to jest własnie oś symetrii.
Translacja jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach równoległych. Złożenie, czyli najpierw "odbiijamy" względem jednej osi, a otrzymany obraz względem drugiej osi.
Itd.

[Kulfon]

Dlaczego dla k=0 nie ma izometrii? Przecież, przynajmniej tak mnie uczono w szkole, zachodzi:
\(\displaystyle{ \left|A'B'\right|=\sqrt{[(0^{2}-1)x_{b}-(0^{2}-1)x_{a}]^{2}+(y_{b}-0-y_{a}+0)^{2}}}\)
Rozpiszmy dla x'ów:
\(\displaystyle{ \sqrt{[(0^{2}-1)x_{b}-(0^{2}-1)x_{a}]^{2}} = \sqrt{(-x_{b}+x_{a})^{2}}= \sqrt{(x_{b}-x_{a})^{2}}}\)
Dla y'ów wiadomo.

[JankoS]

Prepraszam. "Mylnąłem" się. Oczywiście \(\displaystyle{ P(x,y)=(-x,y).}\) Jak widać jest to przypadek b) z zadania 1. Dziękję za sprostowane. Pozdrawiam.