wykazac ze zbior..

[milagros111]

Wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ W=\alpha , \beta , \gamma , \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma \in K}\)

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ K^{4}}\). Nastepnie wyznaczyć jej bazę i wymiar.


Nie zmieniaj kilka razy swojego postu -> Używaj funkcji Podgląd.
Szemek

[gajatko]

Niech \(\displaystyle{ v\in W}\). Wtedy
\(\displaystyle{ v=(\alpha,\beta,\gamma,\alpha)\\}\)
Aby W-podprzestrzeń liniowa, sprawdzamy:
\(\displaystyle{ 1^o \quad c\cdot v=(c\alpha,c\beta,c\gamma,c\alpha)\in W\\
2^o\quad v_1+v_2=(\alpha _1+\alpha _2,\beta_1+\beta_2,\gamma_1+\gamma_2,\alpha _1+\alpha _2)\in W}\)
Co jest prawdą bo \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) - dowolne.
\(\displaystyle{ v}\) możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ v=\alpha (1,0,0,1)+\beta (0,1,0,0)+\gamma (0,0,1,0)}\)
Czyli przykładową bazą W jest \(\displaystyle{ \{(1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}}\).
Ponieważ mamy 3 wektory bazowe, zatem \(\displaystyle{ dim\ W=3}\).