ZAD. 1.
dowieść że wektory ::
v1=(1,2,3)
v2=(2,3,4,1)
v3=(3,4,1,2)
v4=(4,1,2,3)
tworząbazę przestrzeni k^n
ZAD. 2.
V- przestrzeńliniowa,
udowodnij że jeśli
v1...vn = liniowo niezależne to rówanie:
v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3, v1+...+ vn = liniowo niezależne
jakies pomysły ? jeżeli ktośma to bardzo prozsę , to dla mnie bardzo ważne.
przetrzenie liniowe, bazy
-
michal_inf
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 16 lut 2005, o 13:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: działdowo
-
olazola
- Użytkownik
- Posty: 811
- Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sopot
- Pomógł: 36 razy
przetrzenie liniowe, bazy
2) Zakładasz, że wektory \(\displaystyle{ v_{1},v_{2},...,v_{n}}\) są liniowo niezależne, czyli wiadomo z definicji że ich kombinacja liniowa jest równa zero, gdy wszystkie współczynniki są równe zero.
Dalej mamy układ wektorów z których tworzymy kombinację liniową:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}\(v_{1}+v_{2}\)+\alpha_{3}\(v_{1}+v_{2}+v_{3}\)+...+\alpha_{n-1}\(v_{1}+...+v_{n-1}\)+\alpha_{n}\(v_{1}+...v_{n}\)=0}\)
\(\displaystyle{ v_{1}\(\alpha_{1}+..._{n}\)+v_{2}\(\alpha_{2}+..._{n}\)+v_{3}\(\alpha_{3}+...+\alpha_{n}\)+...+v_{n-1}\(\alpha_{n-1}+\alpha_{n}\)+v_{n}\alpha_{n}=0}\)
Mamy do czynienia z kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ v_{1}....v_{n}}\), a one są liniowo niezależne czyli wszystkie współczynniki muszą byc zerami:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}+...+\alpha_{n}=0\\\alpha_{2}+...+\alpha_{n}=0\\\vdots\\\alpha_{n-1}+\alpha_{n}=0\\\alpha_{n}=0\end{array}\right.}\)
Z tego mamy, że \(\displaystyle{ \alpha_{1}=...=\alpha_{n}=0}\), czyli dany układ wektorów jest liniowo niezależny.
A jeśli chodzi o pierwsze to ten pierwszy wektor jest z innej bajki.
Dalej mamy układ wektorów z których tworzymy kombinację liniową:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}\(v_{1}+v_{2}\)+\alpha_{3}\(v_{1}+v_{2}+v_{3}\)+...+\alpha_{n-1}\(v_{1}+...+v_{n-1}\)+\alpha_{n}\(v_{1}+...v_{n}\)=0}\)
\(\displaystyle{ v_{1}\(\alpha_{1}+..._{n}\)+v_{2}\(\alpha_{2}+..._{n}\)+v_{3}\(\alpha_{3}+...+\alpha_{n}\)+...+v_{n-1}\(\alpha_{n-1}+\alpha_{n}\)+v_{n}\alpha_{n}=0}\)
Mamy do czynienia z kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ v_{1}....v_{n}}\), a one są liniowo niezależne czyli wszystkie współczynniki muszą byc zerami:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}+...+\alpha_{n}=0\\\alpha_{2}+...+\alpha_{n}=0\\\vdots\\\alpha_{n-1}+\alpha_{n}=0\\\alpha_{n}=0\end{array}\right.}\)
Z tego mamy, że \(\displaystyle{ \alpha_{1}=...=\alpha_{n}=0}\), czyli dany układ wektorów jest liniowo niezależny.
A jeśli chodzi o pierwsze to ten pierwszy wektor jest z innej bajki.
-
michal_inf
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 16 lut 2005, o 13:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: działdowo
przetrzenie liniowe, bazy
też właśnie miałem tąsamą wątpliwość, bo powinny być tego samego wymiaru chyba ...a np jeśli by ten pierwszy był v1 = (1,2,3,4) to jak to rozwiązać? wrzucić to w macierz? czy jak? możesz podpowiedzieć, dziękuję bardzo , pozdrowienia!
-
olazola
- Użytkownik
- Posty: 811
- Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sopot
- Pomógł: 36 razy
przetrzenie liniowe, bazy
To nie jedna wątpliwość w tym zadaniu. Co to jest K^n, taki zapis mowi o przestrzeni n-wymiarowej nad ciałem K, tutaj mamy wektory czterowymiarowe, jedynie mogą generować podrzestrzeń przestrzenie K^n. Trudno rozwiązywać zadanie z tak sprzeczną treścią.
Mogę jedynie powiedzieć, jak rozwiązuje się tego typu zadania. Żeby sprawdzić, czy dany układ jest bazą pewenej przestrzeni, musimy zbadać jego liniową niezależność.
Mogę jedynie powiedzieć, jak rozwiązuje się tego typu zadania. Żeby sprawdzić, czy dany układ jest bazą pewenej przestrzeni, musimy zbadać jego liniową niezależność.